मान लीजिए $S = \{0, 1, 2, 3, \ldots, 100\}$ है। $x, y \in S$ को चुनने के तरीकों की संख्या ज्ञात कीजिए ताकि $x \neq y$ और $x + y = 100$ हो।

पाँच अलग-अलग रंगों की गेंदों को तीन अलग-अलग आकारों के बक्सों में रखा जाना है। गेंदों को बक्सों में रखने के तरीकों की संख्या ज्ञात कीजिए ताकि कोई भी बक्सा खाली न रहे।

अंग्रेजी वर्णमाला का उपयोग करके बनने वाले $4$-अक्षर के क्रमचयों की संख्या ज्ञात कीजिए,जिसमें भिन्न स्वरों की संख्या और भिन्न व्यंजनों की संख्या समान हो,जब पुनरावृत्ति की अनुमति हो।

जब $1! + 2! + 3! + \ldots + 11!$ को $12$ से विभाजित किया जाता है, तो प्राप्त शेषफल क्या है?

गैर-शून्य अंकों का उपयोग करके बनाई गई सभी तीन अंकों की संख्याओं का योग,जहाँ सभी अंक एक प्राकृतिक संख्या के पूर्ण वर्ग हैं,है

यदि $S_n = \sum_{r=0}^n \frac{1}{^nC_r}$ और $T_n = \sum_{r=0}^n \frac{r}{^nC_r}$ है,तो $\frac{T_n}{S_n}$ का मान ज्ञात कीजिए।