मान लीजिए [P] सबसे बड़े पूर्णांक leq P को दर् | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $0 \leq a \leq 2$। $a$ के पूर्णांक मान $0, 1, 2$ हैं।मान लीजिए $f(x) = [x^2] - [x]^2$ है।$a = 0$ के लिए:$	ext{L.H.L.} = \lim_{h igh

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$2$

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(B) दिया गया है $0 \leq a \leq 2$। $a$ के पूर्णांक मान $0, 1, 2$ हैं।मान लीजिए $f(x) = [x^2] - [x]^2$ है।$a = 0$ के लिए:$	ext{L.H.L.} = \lim_{h ightarrow 0} ([(0-h)^2] - [0-h]^2) = [h^2] - [-h]^2 = 0 - (-1)^2 = -1$.$	ext{R.H.L.} = \lim_{h ightarrow 0} ([(0+h)^2] - [0+h]^2) = [h^2] - [h]^2 = 0 - 0 = 0$.चूंकि $	ext{L.H.L.} 
eq 	ext{R.H.L.}$,इसलिए $a = 0$ पर सीमा का अस्तित्व नहीं है।$a = 1$ के लिए:$	ext{L.H.L.} = \lim_{h ightarrow 0} ([(1-h)^2] - [1-h]^2) = [1-2h+h^2] - [1-h]^2 = 0 - 0^2 = 0$.$	ext{R.H.L.} = \lim_{h ightarrow 0} ([(1+h)^2] - [1+h]^2) = [1+2h+h^2] - [1+h]^2 = 1 - 1^2 = 0$.चूंकि $	ext{L.H.L.} = 	ext{R.H.L.}$,इसलिए $a = 1$ पर सीमा का अस्तित्व है।$a = 2$ के लिए:$	ext{L.H.L.} = \lim_{h ightarrow 0} ([(2-h)^2] - [2-h]^2) = [4-4h+h^2] - [2-h]^2 = 3 - 1^2 = 2$.$	ext{R.H.L.} = \lim_{h ightarrow 0} ([(2+h)^2] - [2+h]^2) = [4+4h+h^2] - [2+h]^2 = 4 - 2^2 = 0$.चूंकि $	ext{L.H.L.} 
eq 	ext{R.H.L.}$,इसलिए $a = 2$ पर सीमा का अस्तित्व नहीं है।अतः,$a$ के $2$ मानों के लिए सीमा का अस्तित्व नहीं है।

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$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x^2}-\cos 3 x}{\sin x \log (1+2 x)}=$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{|x - 2|}{x - 2} = $

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left[ {\frac{1}{{1 - {n^2}}} + \frac{2}{{1 - {n^2}}} + \frac{3}{{1 - {n^2}}} + \dots + \frac{n}{{1 - {n^2}}}} \right] =$

$\lim_{x \to 0} \left[ \frac{x \cdot \log(1 + 4x)}{(e^{4x} - 1)^2} \right] = \dots$

$\lim \limits _{x \to 0} \frac{{{{(\sin x - \tan x)}^2} - {{(1 - \cos 2x)}^4} + {x^5}}}{{7\cdot{{({{\tan }^{ - 1}}x)}^7}\, + {{({{\sin }^{ - 1}}x)}^6}+ 3{{\sin }^5}x}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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