मान लीजिए M और N mathbb{R} पर 2 कोटि के दो व् | vedclass

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Question

(C) मान लीजिए $2$ कोटि के वास्तविक आव्यूह $M = \begin{bmatrix} a & b \ c & d \end{bmatrix}$ और $N = \begin{bmatrix} n_1 & 0 \ 0 & n_2 \end{bmatrix}$

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सभी विकर्ण आव्यूहों $M$ के लिए

Vedclass · Answer

(C) मान लीजिए $2$ कोटि के वास्तविक आव्यूह $M = \begin{bmatrix} a & b \ c & d \end{bmatrix}$ और $N = \begin{bmatrix} n_1 & 0 \ 0 & n_2 \end{bmatrix}$ हैं।चूँकि $M$ व्युत्क्रमणीय है,$M^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} d & -b \ -c & a \end{bmatrix}$ होगा।अतः,$M N M^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} a & b \ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} n_1 & 0 \ 0 & n_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d & -b \ -c & a \end{bmatrix}$.गुणा करने पर:$M N M^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} a & b \ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} n_1 d & -n_1 b \ -n_2 c & n_2 a \end{bmatrix} = \frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} an_1d - bn_2c & -an_1b + bn_2a \ cn_1d - dn_2c & -cn_1b + dn_2a \end{bmatrix}$.$M N M^{-1}$ के विकर्ण आव्यूह होने के लिए,विकर्ण के अलावा अन्य अवयव शून्य होने चाहिए:$ab(n_2 - n_1) = 0$ और $cd(n_1 - n_2) = 0$.यदि $M$ एक विकर्ण आव्यूह है,तो $b = 0$ और $c = 0$ होगा,जो इन समीकरणों को संतुष्ट करता है।अतः,सभी विकर्ण आव्यूहों $M$ के लिए $M N M^{-1}$ एक विकर्ण आव्यूह है।

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