मान लीजिए N सभी प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय | vedclass

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Question

(D) दिया गया फलन $\sigma: N ightarrow Z$ इस प्रकार परिभाषित है: $\sigma(n) = \begin{cases} \frac{n}{2} & 	ext{यदि } n 	ext{ सम है} \ -\frac{n-1}{

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$\sigma$ एकैकी (one-one) और आच्छादक (onto) है

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(D) दिया गया फलन $\sigma: N ightarrow Z$ इस प्रकार परिभाषित है: $\sigma(n) = \begin{cases} \frac{n}{2} & 	ext{यदि } n 	ext{ सम है} \ -\frac{n-1}{2} & 	ext{यदि } n 	ext{ विषम है} \end{cases}$ स्थिति-$I$: यदि $n$ सम है,तो $n = 2k$ लें जहाँ $k \in N$ है। तब $\sigma(2k) = \frac{2k}{2} = k$। जैसे-जैसे $k$ का मान $1, 2, 3, \dots$ होता है,$\sigma(n)$ का मान $1, 2, 3, \dots$ (सभी धनात्मक पूर्णांक) प्राप्त होता है। स्थिति-$II$: यदि $n$ विषम है,तो $n = 2k-1$ लें जहाँ $k \in N$ है। तब $\sigma(2k-1) = -\frac{(2k-1)-1}{2} = -\frac{2k-2}{2} = -(k-1) = 1-k$। जैसे-जैसे $k$ का मान $1, 2, 3, \dots$ होता है,$\sigma(n)$ का मान $0, -1, -2, \dots$ (सभी गैर-धनात्मक पूर्णांक) प्राप्त होता है। दोनों स्थितियों को मिलाने पर,$\sigma$ का परिसर ${0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, \dots} = Z$ है। चूँकि प्रत्येक अलग $n \in N$ के लिए $Z$ में एक अलग पूर्णांक प्राप्त होता है,इसलिए फलन एकैकी (one-one) है। चूँकि $\sigma$ का परिसर उसके सह-प्रांत $Z$ के बराबर है,इसलिए फलन आच्छादक (onto) है। अतः,$\sigma$ एकैकी और आच्छादक फलन है।

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