यदि f: S rightarrow R जहाँ S, R पर 2 क्रम के | vedclass

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Question

(D) फलन $f: S ightarrow R$ को $f(A) = \det(A)$ द्वारा परिभाषित किया गया है, जहाँ $A \in S$ और $S$, $2 	imes 2$ क्रम के सभी व्युत्क्रमणीय आव्यूहों क

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$f$ न तो एकैकी है और न ही आच्छादक है

Vedclass · Answer

(D) फलन $f: S ightarrow R$ को $f(A) = \det(A)$ द्वारा परिभाषित किया गया है, जहाँ $A \in S$ और $S$, $2 	imes 2$ क्रम के सभी व्युत्क्रमणीय आव्यूहों का समुच्चय है। एक आव्यूह व्युत्क्रमणीय होता है यदि उसका सारणिक शून्य न हो। अतः, $f$ का परिसर $R \setminus \{0\}$ है।$1$. एकैकी के लिए जाँच: दो आव्यूह $A_1 = \begin{bmatrix} 2 & 0 \ 0 & 2 \end{bmatrix}$ और $A_2 = \begin{bmatrix} 4 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix}$ लें। दोनों $A_1, A_2 \in S$ हैं क्योंकि $\det(A_1) = 4 
eq 0$ और $\det(A_2) = 4 
eq 0$। यहाँ, $f(A_1) = 2(2) - 0(0) = 4$ और $f(A_2) = 4(1) - 0(0) = 4$। चूँकि $f(A_1) = f(A_2)$ है लेकिन $A_1 
eq A_2$, इसलिए फलन $f$ एकैकी नहीं है।$2$. आच्छादक के लिए जाँच: सह-प्रांत $R$ है। किसी भी $y = 0 \in R$ के लिए, ऐसा कोई आव्यूह $A \in S$ मौजूद नहीं है जिसके लिए $f(A) = 0$ हो, क्योंकि $S$ में केवल व्युत्क्रमणीय आव्यूह हैं (जहाँ $\det(A) 
eq 0$)। अतः, $f$ आच्छादक नहीं है।इसलिए, $f$ न तो एकैकी है और न ही आच्छादक है।

कॉलम-$I$	कॉलम-$II$
$A$. $f$ एकैकी और आच्छादक है,यदि	$1$. $A = R^{+}, B = R$
$B$. $f$ एकैकी है लेकिन आच्छादक नहीं है,यदि	$2$. $A = B = R$
$C$. $f$ आच्छादक है लेकिन एकैकी नहीं है,यदि	$3$. $A = R, B = R^{+}$
$D$. $f$ न तो एकैकी है और न ही आच्छादक है,यदि	$4$. $A = B = R^{+}$

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