ધારો કે R એ તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ છે અને | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) વિધેય $f(x) = x^2$ છે.$f$ એક-એક હોવા માટે,$f(x_1) = f(x_2) \implies x_1^2 = x_2^2$. આનો અર્થ એ છે કે $x_1 = x_2$ માત્ર ત્યારે જ જો $x_1, x_2$ સમાન

Vedclass · Accepted Answer

Vedclass · Answer

(A) વિધેય $f(x) = x^2$ છે.$f$ એક-એક હોવા માટે,$f(x_1) = f(x_2) \implies x_1^2 = x_2^2$. આનો અર્થ એ છે કે $x_1 = x_2$ માત્ર ત્યારે જ જો $x_1, x_2$ સમાન ચિહ્ન ધરાવતા હોય.$f$ વ્યાપ્ત હોવા માટે,$f$ નો વિસ્તાર તેના સહ-પ્રદેશ $B$ જેટલો હોવો જોઈએ. $x \in A$ માટે $f(x) = x^2$ નો વિસ્તાર ${x^2 : x \in A}$ છે.વિશ્લેષણ:$(A)$ $A = B = R^{+}$: $f(x) = x^2$ એ ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓને ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ પર મેપ કરે છે. તે એક-એક છે (કારણ કે $x_1^2 = x_2^2$ અને $x_1, x_2 > 0 \implies x_1 = x_2$) અને વ્યાપ્ત છે (કારણ કે કોઈપણ $y \in R^{+}$ માટે,$x = \sqrt{y} \in R^{+}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે). તેથી,$A \rightarrow 4$.$(B)$ $A = R^{+}, B = R$: $f(x) = x^2$ એક-એક છે (કારણ કે $x > 0$),પરંતુ વ્યાપ્ત નથી કારણ કે $B$ માં રહેલી ઋણ કિંમતો વિસ્તાર $(R^{+})$ દ્વારા આવરી લેવામાં આવતી નથી. તેથી,$B \rightarrow 1$.$(C)$ $A = R, B = R^{+}$: $f(x) = x^2$ એક-એક નથી (કારણ કે $f(1) = f(-1) = 1$) પરંતુ વ્યાપ્ત છે (કારણ કે દરેક $y \in R^{+}$ માટે પૂર્વ-પ્રતિબિંબ $x = \pm \sqrt{y} \in R$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે). તેથી,$C \rightarrow 3$.$(D)$ $A = B = R$: $f(x) = x^2$ એક-એક નથી (કારણ કે $f(1) = f(-1)$) અને વ્યાપ્ત પણ નથી (કારણ કે $B$ માં રહેલી ઋણ કિંમતો આવરી લેવાતી નથી). તેથી,$D \rightarrow 2$.સાચી જોડ $A-4, B-1, C-3, D-2$ છે.

સ્તંભ-$I$	સ્તંભ-$II$
$A$. $f$ એક-એક અને વ્યાપ્ત છે,જો	$1$. $A = R^{+}, B = R$
$B$. $f$ એક-એક છે પણ વ્યાપ્ત નથી,જો	$2$. $A = B = R$
$C$. $f$ વ્યાપ્ત છે પણ એક-એક નથી,જો	$3$. $A = R, B = R^{+}$
$D$. $f$ એક-એક પણ નથી અને વ્યાપ્ત પણ નથી,જો	$4$. $A = B = R^{+}$

Similar Questions

ધારો કે $f, g: N \rightarrow N$ એવા છે કે $f(n+1)=f(n)+f(1)$ દરેક $n \in N$ માટે અને $g$ કોઈ પણ વિધેય છે. નીચેનામાંથી કયું વિધાન સત્ય $\text{નથી}$?

ધારો કે $f: R \rightarrow R$ એ $f(x) = x^{2} - \frac{x^{2}}{1+x^{2}}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે, જ્યાં $x \in R$. તો,

વિધેય $f(x) = \frac{e^{2x} - 1}{e^{2x} + 1}$ એ

$f(x) = x + \sqrt{x^2}$ એ $R \to R$ પરનું વિધેય છે,તો $f(x)$ એ

સાબિત કરો કે વિધેય $f: N \rightarrow N$ જે $f(x) = 2x$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે,તે એક-એક છે પરંતુ વ્યાપ્ત નથી.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module