मान लीजिए $[x]$ उस महत्तम पूर्णांक को दर्शाता है जो $x$ से अधिक नहीं है। फलन $f(x) = \frac{5+[x]}{\sqrt{11+[x]-6 \sqrt{2+[x]}}}$ के असंतत बिंदु किस अंतराल में स्थित हैं?

यदि $f(x) = \begin{cases} x^2 + \alpha, & x \ge 0 \\ 2\sqrt{x^2 + 1} + \beta, & x < 0 \end{cases}$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है और $f(\frac{1}{2}) = 2$ है,तो $\alpha^2 + \beta^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $f(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt{1+mx} - \sqrt{1-mx}}{x}, & -1 \le x < 0 \\ \frac{2x+1}{x-2}, & 0 \le x \le 1 \end{cases}$ अंतराल $[-1, 1]$ में सतत है,तो $m$ का मान ज्ञात कीजिए:

मान लीजिए कि $f:(0,1) \rightarrow \mathbb{R}$ एक फलन है जिसे $f(x)=[4x](x-\frac{1}{4})^2(x-\frac{1}{2})$ के रूप में परिभाषित किया गया है,जहाँ $[x]$ $x$ से कम या उसके बराबर सबसे बड़ा पूर्णांक दर्शाता है। तो निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सत्य है/हैं?
$(A)$ फलन $f$ $(0,1)$ में ठीक एक बिंदु पर असतत है
$(B)$ $(0,1)$ में ठीक एक ऐसा बिंदु है जिस पर फलन $f$ सतत है लेकिन अवकलनीय नहीं है
$(C)$ फलन $f$ $(0,1)$ में तीन से अधिक बिंदुओं पर अवकलनीय नहीं है
$(D)$ फलन $f$ का न्यूनतम मान $-\frac{1}{512}$ है

जाँच कीजिए कि क्या $f(x) = \sin |x|$ एक संतत फलन है।

यदि फलन $f$ को $f(x) = \frac{1}{x} - \frac{k - 1}{e^{2x} - 1}$,$x \neq 0$ के रूप में परिभाषित किया गया है और यह $x = 0$ पर सतत है,तो क्रमित युग्म $(k, f(0))$ का मान क्या है?