मान लीजिए [x] x से कम या उसके बराबर सबसे बड़ा | vedclass

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Question

(C) मान लीजिए $f(x) = \sin \left(2 \pi\left([x]-\left[\frac{x}{k}\right]\right)-x\right) + \sin k$. जैसे ही $x \rightarrow k$,पद $[x] - [x/k]$ पूर्णां

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$-\cos k$

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(C) मान लीजिए $f(x) = \sin \left(2 \pi\left([x]-\left[\frac{x}{k}\right]\right)-x\right) + \sin k$. जैसे ही $x \rightarrow k$,पद $[x] - [x/k]$ पूर्णांक मान लेता है। विशेष रूप से,$k$ के एक छोटे पड़ोस में $x$ के लिए,$[x] = k$ और $[x/k] = 1$ (चूंकि $k \geq 2$)। अतः,पद $2 \pi ([x] - [x/k])$ $\pi$ का एक सम गुणज है,मान लीजिए $2 \pi m$। इसलिए,$\sin(2 \pi m - x) = \sin(-x) = -\sin x$। सीमा $\lim_{x \rightarrow k} \frac{-\sin x + \sin k}{x - k}$ बन जाती है। $L$'$H$ôpital के नियम का उपयोग करते हुए,हम अंश और हर का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं: $\lim_{x \rightarrow k} \frac{-\cos x}{1} = -\cos k$।

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