माना f: R^{+} rightarrow R एक वर्धमान फलन है, | vedclass

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Question

(A) दिया गया है कि $f$ एक वर्धमान फलन है और सभी $x \in R^{+}$ के लिए $f(x) > 0$ है।हमें दिया गया है कि $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(9 x)}{f(3

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$1$

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(A) दिया गया है कि $f$ एक वर्धमान फलन है और सभी $x \in R^{+}$ के लिए $f(x) > 0$ है।हमें दिया गया है कि $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(9 x)}{f(3 x)}=1$ है।चूंकि $f$ एक वर्धमान फलन है,किसी भी $x > 0$ के लिए,हमारे पास असमिका है:$3x $\Rightarrow f(3x) पूरी असमिका को $f(3x)$ (जो धनात्मक है) से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:$\frac{f(3x)}{f(3x)} $1 अब,सभी पक्षों पर $x \rightarrow \infty$ की सीमा लेने पर:$\lim _{x \rightarrow \infty} 1 \leq \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(6x)}{f(3x)} \leq \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(9x)}{f(3x)}$$1 \leq \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(6x)}{f(3x)} \leq 1$सैंडविच प्रमेय (Sandwich Theorem) द्वारा,हम निष्कर्ष निकालते हैं कि:$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(6x)}{f(3x)} = 1$.

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यदि $f(x) = \begin{cases} x\sin \left(\frac{1}{x}\right), & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$

$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{2+\sin x}{x^2+3}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \,\left( {\frac{{x - \sin x}}{x}} \right)\,\sin \left( {\frac{1}{x}} \right)$

$x \rightarrow 0$ होने पर $x \sin \left(e^{\frac{1}{x}}\right)$ की सीमा ज्ञात कीजिए।

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