मान लीजिए a, b, c notin {0, 1} है। यदि समीकरण | vedclass

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Question

(B) दिया गया समरूप समीकरण निकाय $AX=0$ है, जहाँ $A = \begin{bmatrix} 1 & a & a \ b & 1 & b \ c & c & 1 \end{bmatrix}$ है।चूंकि निकाय का एक गैर-तुच्छ

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अनंत हल हैं

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(B) दिया गया समरूप समीकरण निकाय $AX=0$ है, जहाँ $A = \begin{bmatrix} 1 & a & a \ b & 1 & b \ c & c & 1 \end{bmatrix}$ है।चूंकि निकाय का एक गैर-तुच्छ हल है, इसलिए सारणिक $|A| = 0$ है।सारणिक की गणना करने पर: $1(1-bc) - a(b-bc) + a(bc-c) = 1 - bc - ab + abc + abc - ac = 1 - ab - bc - ca + 2abc = 0$ प्राप्त होता है।अब गैर-समरूप निकाय $\Pi_1=a, \Pi_2=b, \Pi_3=c$ पर विचार करें। संवर्धित आव्यूह (augmented matrix) $A' = \begin{bmatrix} 1 & a & a & | & a \ b & 1 & b & | & b \ c & c & 1 & | & c \end{bmatrix}$ है।चूंकि $|A|=0$ है, इसलिए निकाय का या तो कोई हल नहीं है या अनंत हल हैं।पंक्ति संक्रियाओं द्वारा, हम देखते हैं कि संवर्धित आव्यूह $A'$ की कोटि (rank), $A$ की कोटि के बराबर है (जो $a, b, c 
eq 1$ के लिए $2$ है)।चूंकि गुणांक आव्यूह की कोटि संवर्धित आव्यूह की कोटि के बराबर है, इसलिए निकाय के अनंत हल हैं।

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