ધારો કે $a, b, c$ ત્રણ અસમતલીય સદિશો છે જેથી $r_1 = a - b + c$,$r_2 = b + c - a$,$r_3 = c + a + b$,અને $r = 2a - 3b + 4c$ છે. જો $r = \lambda_1 r_1 + \lambda_2 r_2 + \lambda_3 r_3$ હોય,તો:

$A, B, P, Q, R$ સમતલમાં આવેલા પાંચ બિંદુઓ છે. જો બિંદુ $A$ પર લાગતા બળો $\overline{AP}, \overline{AQ}, \overline{AR}$ અને બિંદુ $B$ પર લાગતા બળો $\overline{PB}, \overline{QB}, \overline{RB}$ હોય,તો આ બધા બળોનું પરિણામી બળ શોધો.

ધારો કે $\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$\vec{b}=2\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}$ અને $\vec{d}=\vec{a} \times \vec{b}$. જો $\vec{c}$ એવો સદિશ હોય કે જેથી $\vec{a} \cdot \vec{c}=|\vec{c}|$,$|\vec{c}-2\vec{a}|^2=8$ અને $\vec{d}$ તથા $\vec{c}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{4}$ હોય,તો $|10-3\vec{b} \cdot \vec{c}|+|\vec{d} \times \vec{c}|^2$ ની કિંમત . . . . . . છે.

જો $\hat{a}, \hat{b}$ અને $\hat{c}$ અસમતલીય સદિશો હોય અને જો $\hat{d}$ એવું હોય કે $\hat{d} = \frac{1}{x}(\hat{a} + \hat{b} + \hat{c})$ અને $\hat{d} = \frac{1}{y}(\hat{b} + \hat{c} + \hat{d})$ જ્યાં $x$ અને $y$ શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે,તો $\frac{1}{xy}(\hat{a} + \hat{b} + \hat{c} + \hat{d})$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે ત્રિકોણના ત્રણ શિરોબિંદુઓના સ્થાન સદિશો $4 \overrightarrow{p} + \overrightarrow{q} - 3 \overrightarrow{r}$,$-5 \overrightarrow{p} + \overrightarrow{q} + 2 \overrightarrow{r}$ અને $2 \overrightarrow{p} - \overrightarrow{q} + 2 \overrightarrow{r}$ છે. જો ત્રિકોણના લંબકેન્દ્ર $(O)$ અને પરિકેન્દ્ર $(C)$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\frac{\overrightarrow{p} + \overrightarrow{q} + \overrightarrow{r}}{4}$ અને $\alpha \overrightarrow{p} + \beta \overrightarrow{q} + \gamma \overrightarrow{r}$ હોય,તો $\alpha + 2 \beta + 5 \gamma$ ની કિંમત શોધો.

જો $\overrightarrow{AB} = 3\hat{i} + 5\hat{j} + 4\hat{k}$ અને $\overrightarrow{AC} = 5\hat{i} - 5\hat{j} + 2\hat{k}$ એ $\triangle ABC$ ની બાજુઓ હોય,તો $A$ માંથી પસાર થતી મધ્યગાની લંબાઈ ............. એકમ છે.