मान लीजिए कि Pi एक समतल है जिसमें बिंदु (0,-5 | vedclass

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Question

(B) बिंदुओं $A(0,-5,-1), B(1,-2,5), C(-3,5,0)$ से गुजरने वाले समतल $\Pi$ का समीकरण सारणिक द्वारा इस प्रकार है: $\begin{vmatrix} x-0 & y+5 & z+1 \ 1-0

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$\frac{14}{\sqrt{682}}$

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(B) बिंदुओं $A(0,-5,-1), B(1,-2,5), C(-3,5,0)$ से गुजरने वाले समतल $\Pi$ का समीकरण सारणिक द्वारा इस प्रकार है: $\begin{vmatrix} x-0 & y+5 & z+1 \ 1-0 & -2+5 & 5+1 \ -3-0 & 5+5 & 0+1 \end{vmatrix} = 0$ $\begin{vmatrix} x & y+5 & z+1 \ 1 & 3 & 6 \ -3 & 10 & 1 \end{vmatrix} = 0$ पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर: $x(3-60) - (y+5)(1+18) + (z+1)(10+9) = 0$ $-57x - 19(y+5) + 19(z+1) = 0$ $-19$ से विभाजित करने पर: $3x + y + 5 - z - 1 = 0 \Rightarrow 3x + y - z + 4 = 0$ समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = 3\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ है। इकाई अभिलंब सदिश $\hat{n} = \frac{3\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}}{\sqrt{3^2 + 1^2 + (-1)^2}} = \frac{3\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}}{\sqrt{11}}$ है। रेखा $L$, सदिश $\vec{v} = \hat{i} + 5\hat{j} - 6\hat{k}$ के समानांतर है। रेखा $L$ की दिशा में इकाई सदिश $\hat{u} = \frac{\hat{i} + 5\hat{j} - 6\hat{k}}{\sqrt{1^2 + 5^2 + (-6)^2}} = \frac{\hat{i} + 5\hat{j} - 6\hat{k}}{\sqrt{62}}$ है। रेखा $L$ पर $\hat{n}$ के प्रक्षेप की लंबाई $|\hat{n} \cdot \hat{u}|$ है: $|\hat{n} \cdot \hat{u}| = \left| \left( \frac{3\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}}{\sqrt{11}} ight) \cdot \left( \frac{\hat{i} + 5\hat{j} - 6\hat{k}}{\sqrt{62}} ight) ight|$ $= \left| \frac{3(1) + 1(5) + (-1)(-6)}{\sqrt{11} \cdot \sqrt{62}} ight| = \left| \frac{3 + 5 + 6}{\sqrt{682}} ight| = \frac{14}{\sqrt{682}}$.

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$(1, 2, 3)$ से गुजरने वाली और समतल $\vec{r} \cdot (\hat{i} + 2\hat{j} - 5\hat{k}) + 9 = 0$ के लंबवत रेखा का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए।

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