मान लीजिए $C$ सभी सम्मिश्र संख्याओं का समुच्चय है। $A = \{(z, w) \mid z, w \in C \text{ और } |z| = |w|\}$ और $B = \{(z, w) \mid z, w \in C \text{ और } z^2 = w^2\}$ को परिभाषित करें। तो:

यदि $a$ एक सम्मिश्र संख्या है और $b$ एक वास्तविक संख्या है,तो समीकरण $\bar{a}+a+b=0$ $a$ को क्या दर्शाता है?

मान लीजिए $w = \frac{\sqrt{3} + i}{2}$ और $P = \{w^n : n = 1, 2, 3, \ldots\}$ है। इसके अलावा, $H_1 = \{z \in C : \operatorname{Re}(z) > \frac{1}{2}\}$ और $H_2 = \{z \in C : \operatorname{Re}(z) < -\frac{1}{2}\}$, जहाँ $C$ सभी सम्मिश्र संख्याओं का समुच्चय है। यदि $z_1 \in P \cap H_1$, $z_2 \in P \cap H_2$, और $O$ मूल बिंदु को दर्शाता है, तो $\angle z_1 O z_2$ क्या हो सकता है?

मान लीजिए $z_1$ और $z_2$ दो भिन्न सम्मिश्र संख्याएँ हैं और $0 < t < 1$ वाली किसी वास्तविक संख्या $t$ के लिए $z = (1-t)z_1 + tz_2$ है। यदि $\operatorname{Arg}(w)$ एक शून्येतर सम्मिश्र संख्या $w$ के मुख्य कोणांक को दर्शाता है,तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?
$(A)$ $|z-z_1| + |z-z_2| = |z_1-z_2|$
$(B)$ $\operatorname{Arg}(z-z_1) = \operatorname{Arg}(z-z_2)$
$(C)$ $\left|\begin{array}{cc} z-z_1 & \bar{z}-\bar{z}_1 \\ z_2-z_1 & \bar{z}_2-\bar{z}_1 \end{array}\right| = 0$
$(D)$ $\operatorname{Arg}(z-z_1) = \operatorname{Arg}(z_2-z_1)$

व्यंजक $|z|+|z-1|+|z-1-i|+|z-i|$ का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए,जहाँ $z$ एक सम्मिश्र संख्या है और $i=\sqrt{-1}$ है।

यदि $|z - 2 - 3i| + |z + 2 - 6i| = 4$,जहाँ $i = \sqrt{-1}$ है,तो $P(z)$ का बिन्दुपथ क्या है?