मान लीजिए f: R rightarrow R इस प्रकार है कि f | vedclass

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Question

(A) दिया गया फलन समीकरण $f(x)f(y) = f(x+y)$ है।चूंकि $f$ एकैकी है, इस कौशी फलन समीकरण का हल $f(x) = a^{kx}$ के रूप में है, जहाँ $a > 0, a 
eq 1$ और $

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हमेशा $AP$ में

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(A) दिया गया फलन समीकरण $f(x)f(y) = f(x+y)$ है।चूंकि $f$ एकैकी है, इस कौशी फलन समीकरण का हल $f(x) = a^{kx}$ के रूप में है, जहाँ $a > 0, a 
eq 1$ और $k 
eq 0$ स्थिरांक हैं।दिया गया है कि $f(x), f(y),$ और $f(z)$ $GP$ में हैं, इसलिए $(f(y))^2 = f(x)f(z)$ होगा।$f(x) = a^{kx}$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें $(a^{ky})^2 = a^{kx} \cdot a^{kz}$ प्राप्त होता है।यह $a^{2ky} = a^{k(x+z)}$ में सरल हो जाता है।चूंकि $a 
eq 1$ और $k 
eq 0$, हम घातांकों की तुलना करते हैं: $2ky = k(x+z)$।$k$ से विभाजित करने पर, हमें $2y = x+z$ प्राप्त होता है।यह स्थिति दर्शाती है कि $x, y,$ और $z$ $AP$ में हैं।

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एक फलन $f: R \rightarrow R$ सभी $x, y \in R$ के लिए $f\left(\frac{x+y}{3}\right) = \frac{f(x)+f(y)+f(0)}{3}$ को संतुष्ट करता है। यदि फलन $f$, $x=0$ पर अवकलनीय है, तो $f$ है:

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