मान लीजिए S_{k} एक अनंत GP श्रेणी का योग है ज | vedclass

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Question

(D) अनंत $GP$ का योग $S_{k} = \frac{a}{1-r} = \frac{k}{1-\frac{k}{k+1}} = k(k+1)$ है।हमें $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{k(k+1)}$ का मान ज्ञात क

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$1-\log _{e} 4$

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(D) अनंत $GP$ का योग $S_{k} = \frac{a}{1-r} = \frac{k}{1-\frac{k}{k+1}} = k(k+1)$ है।हमें $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{k(k+1)}$ का मान ज्ञात करना है।आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हुए, $\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$ है।अतः, योग $\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right) = -1 + 2 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \dots \right)$ है।चूंकि $\log_{e} 2 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots$, इसलिए $\frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \dots = 1 - \log_{e} 2$ है।अतः, योग $-1 + 2(1 - \log_{e} 2) = 1 - \log_{e} 4$ प्राप्त होता है।

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