मान लीजिए a_n = (1^2 + 2^2 + ldots + n^2)^n औ | vedclass

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Question

(B) हमारे पास $a_n = (\frac{n(n+1)(2n+1)}{6})^n$ और $b_n = n^n(n!)$ है।$n=1$ के लिए, $a_1 = (1^2)^1 = 1$ और $b_1 = 1^1(1!) = 1$, इसलिए $a_1 = b_1$ है।

Vedclass · Accepted Answer

$a_n > b_n$ सभी $n$ के लिए

Vedclass · Answer

(B) हमारे पास $a_n = (\frac{n(n+1)(2n+1)}{6})^n$ और $b_n = n^n(n!)$ है।$n=1$ के लिए, $a_1 = (1^2)^1 = 1$ और $b_1 = 1^1(1!) = 1$, इसलिए $a_1 = b_1$ है।$n=2$ के लिए, $a_2 = (1^2+2^2)^2 = 5^2 = 25$ और $b_2 = 2^2(2!) = 4 	imes 2 = 8$ है। अतः $a_2 > b_2$ है।$n=3$ के लिए, $a_3 = (1^2+2^2+3^2)^3 = 14^3 = 2744$ और $b_3 = 3^3(3!) = 27 	imes 6 = 162$ है। अतः $a_3 > b_3$ है।गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा, यह सिद्ध किया जा सकता है कि सभी $n \geq 2$ के लिए $a_n > b_n$ होता है।

मान लीजिए $a_n = (1^2 + 2^2 + \ldots + n^2)^n$ और $b_n = n^n(n!)$ है। तो

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उस श्रेणी के $n$ पदों का योग ज्ञात कीजिए जिसका $n^{th}$ पद $a_n = n(n+1)(n+4)$ द्वारा दिया गया है।

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