मान लीजिए Gamma वक्र y=b e^{-x/a} है और L सरल | vedclass

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Question

(A) दिया गया वक्र $\Gamma: y = b e^{-x/a}$ है।$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, $\frac{dy}{dx} = -\frac{b}{a} e^{-x/a}$ प्राप्त होता है।जहाँ वक्र $y$-अक्ष

Vedclass · Accepted Answer

$L$, वक्र $\Gamma$ को उस बिंदु पर स्पर्श करता है जहाँ वक्र $y$-अक्ष को काटता है।

Vedclass · Answer

(A) दिया गया वक्र $\Gamma: y = b e^{-x/a}$ है।$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, $\frac{dy}{dx} = -\frac{b}{a} e^{-x/a}$ प्राप्त होता है।जहाँ वक्र $y$-अक्ष को काटता है, वहाँ $x = 0$, इसलिए $y = b e^0 = b$ है।$(0, b)$ बिंदु पर स्पर्श रेखा की ढाल $\left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=0} = -\frac{b}{a}$ है।$(0, b)$ बिंदु पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - b = -\frac{b}{a}(x - 0)$ है, जो सरल होकर $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ हो जाता है।यह रेखा $L$ का समीकरण है, अतः $L$, $\Gamma$ को $(0, b)$ पर स्पर्श करता है।चूँकि सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $e^{-x/a} > 0$ है, इसलिए $y = b e^{-x/a}$ कभी भी $0$ नहीं होता है। अतः, $\Gamma$ कभी भी $x$-अक्ष को स्पर्श नहीं करता है।इसलिए, दिए गए विकल्पों में से $A$ और $D$ दोनों गणितीय रूप से सही हैं।

मान लीजिए $\Gamma$ वक्र $y=b e^{-x/a}$ है और $L$ सरल रेखा $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ है, जहाँ $a, b \in \mathbb{R}$। निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?

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यदि वक्र $y=x+\sin y$ के बिंदु $(a, b)$ पर स्पर्श रेखा,$\left(0, \frac{3}{2}\right)$ और $\left(\frac{1}{2}, 2\right)$ को मिलाने वाली रेखा के समांतर है,तो

वक्र $y = x^{3} + 1$ के बिंदु $(1, 2)$ पर स्पर्श रेखा $y$-अक्ष के साथ $\theta$ कोण बनाती है,तो $\tan \theta$ का मान ज्ञात कीजिए।

वक्र $y = b e^{-\frac{x}{a}}$ पर विचार करें, जहाँ $a$ और $b$ गैर-शून्य वास्तविक संख्याएँ हैं। तो:

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