मान लीजिए 0

Question

(B) समाकलन $\int_{1/(k+\beta)}^{1/(k+\alpha)} \frac{dx}{1+x} = [\log(1+x)]_{1/(k+\beta)}^{1/(k+\alpha)} = \log(1+\frac{1}{k+\alpha}) - \log(1+\frac{1}

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$\log_{e} \frac{1+\beta}{1+\alpha}$

Vedclass · Answer

(B) समाकलन $\int_{1/(k+\beta)}^{1/(k+\alpha)} \frac{dx}{1+x} = [\log(1+x)]_{1/(k+\beta)}^{1/(k+\alpha)} = \log(1+\frac{1}{k+\alpha}) - \log(1+\frac{1}{k+\beta})$ द्वारा प्राप्त होता है।$k=1$ से $n$ तक योग करने पर, $\sum_{k=1}^{n} (\log(\frac{k+\alpha+1}{k+\alpha}) - \log(\frac{k+\beta+1}{k+\beta}))$ प्राप्त होता है।यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है: $(\log(\frac{2+\alpha}{1+\alpha}) - \log(\frac{2+\beta}{1+\beta})) + (\log(\frac{3+\alpha}{2+\alpha}) - \log(\frac{3+\beta}{2+\beta})) + \dots + (\log(\frac{n+\alpha+1}{n+\alpha}) - \log(\frac{n+\beta+1}{n+\beta}))$।जैसे $n \rightarrow \infty$, पद $\log(\frac{n+\alpha+1}{n+\alpha}) \rightarrow \log(1) = 0$ और $\log(\frac{n+\beta+1}{n+\beta}) \rightarrow \log(1) = 0$ हो जाते हैं।शेष पद $\log(\frac{1+\beta}{1+\alpha})$ हैं।

मान लीजिए $0 < \alpha < \beta < 1$ है। तो $\lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{1/(k+\beta)}^{1/(k+\alpha)} \frac{dx}{1+x}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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