समाकल int_{-pi}^{pi} (cos ax - sin bx)^2 dx क | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int_{-\pi}^{\pi} (\cos ax - \sin bx)^2 dx$ है।समाकल्य का विस्तार करने पर,$I = \int_{-\pi}^{\pi} (\cos^2 ax + \sin^2 bx - 2\cos ax \sin

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$2\pi$

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(D) माना $I = \int_{-\pi}^{\pi} (\cos ax - \sin bx)^2 dx$ है।समाकल्य का विस्तार करने पर,$I = \int_{-\pi}^{\pi} (\cos^2 ax + \sin^2 bx - 2\cos ax \sin bx) dx$ प्राप्त होता है।समाकलन के रैखिकता गुण का उपयोग करने पर,$I = \int_{-\pi}^{\pi} (\cos^2 ax + \sin^2 bx) dx - 2\int_{-\pi}^{\pi} \cos ax \sin bx dx$।चूंकि $\cos ax \sin bx$ एक विषम फलन है,इसलिए $\int_{-\pi}^{\pi} \cos ax \sin bx dx = 0$ होगा।अतः,$I = \int_{-\pi}^{\pi} (\cos^2 ax + \sin^2 bx) dx$।चूंकि फलन सम है,इसलिए $I = 2 \int_{0}^{\pi} (\cos^2 ax + \sin^2 bx) dx$ होगा।सर्वसमिकाओं $\cos^2 	heta = \frac{1 + \cos 2	heta}{2}$ और $\sin^2 	heta = \frac{1 - \cos 2	heta}{2}$ का उपयोग करने पर:$I = 2 \int_{0}^{\pi} (\frac{1 + \cos 2ax}{2} + \frac{1 - \cos 2bx}{2}) dx = \int_{0}^{\pi} (2 + \cos 2ax - \cos 2bx) dx$।पद-दर-पद समाकलन करने पर,$I = [2x + \frac{\sin 2ax}{2a} - \frac{\sin 2bx}{2b}]_{0}^{\pi}$।चूंकि $a$ और $b$ पूर्णांक हैं,इसलिए $\sin(2a\pi) = 0$ और $\sin(2b\pi) = 0$ होगा।अतः,$I = 2\pi + 0 - 0 = 2\pi$।

समाकल $\int_{-\pi}^{\pi} (\cos ax - \sin bx)^2 dx$ का मान,जहाँ $a$ और $b$ पूर्णांक हैं,ज्ञात कीजिए।

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