ધારો કે f: N rightarrow R એવું છે કે f(1)=1 અ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ છે $f(1)=1$ અને $f(1)+2 f(2)+3 f(3)+\ldots+n f(n)=n(n+1) f(n)$ જ્યાં $n \geq 2$. ધારો કે $S_n = \sum_{k=1}^{n} k f(k)$. તેથી $S_n = n(n+1) f(

Vedclass · Accepted Answer

$1/500$

Vedclass · Answer

(C) આપેલ છે $f(1)=1$ અને $f(1)+2 f(2)+3 f(3)+\ldots+n f(n)=n(n+1) f(n)$ જ્યાં $n \geq 2$. ધારો કે $S_n = \sum_{k=1}^{n} k f(k)$. તેથી $S_n = n(n+1) f(n)$. $n \geq 2$ માટે, $S_n = S_{n-1} + n f(n) = n(n+1) f(n)$. $S_{n-1} = (n-1)n f(n-1)$ મૂકતા, આપણને મળે $(n-1)n f(n-1) + n f(n) = n(n+1) f(n)$. $n$ વડે ભાગતા $(n \geq 2)$, આપણને મળે $(n-1) f(n-1) + f(n) = (n+1) f(n)$. $(n-1) f(n-1) = n f(n) \Rightarrow f(n) = \frac{n-1}{n} f(n-1)$. $n=2$ માટે, $f(2) = \frac{1}{2} f(1) = \frac{1}{2}$. $n=3$ માટે, $f(3) = \frac{2}{3} f(2) = \frac{2}{3} 	imes \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$. સામાન્ય રીતે, $f(n) = \frac{1}{n}$. તેથી, $f(500) = \frac{1}{500}$.

Similar Questions

જો $f: R \setminus \{0\} \rightarrow R$ એવું હોય કે $2 f(x) + f\left(\frac{1}{x}\right) = 4x$ અને $S = \{x \in R : f(x) = f(-x)\}$, તો $S$ માં ઘટકોની સંખ્યા કેટલી છે?

ધારો કે $f: R \rightarrow R$ એ $f(x+y)+f(x-y)=2 f(x) f(y)$ અને $f\left(\frac{1}{2}\right)=-1$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે. તો,$\sum_{k=1}^{20} \frac{1}{\sin (k) \sin (k+f(k))}$ નું મૂલ્ય શોધો:

જો $f(x)$ અને $g(x)$ બે વાસ્તવિક મૂલ્ય ધરાવતા વિધેયો હોય કે જેથી $f(g(x+y)) = f(g(x)) + f(g(y))$,$g(1) = 2$ અને $f(2) = 1$ થાય,તો વિધેય $g(f(x))$ કયા ગણ પર અસતત છે?

જો $f(x)$ એ બહુપદી વિધેય હોય જે $f(x) \cdot f(\frac{1}{x}) = f(x) + f(\frac{1}{x})$ નું સમાધાન કરે છે અને $f(4) = 65$ હોય,તો $f(6)$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module