मान लीजिए f(x)=a_0+a_1|x|+a_2|x|^2+a_3|x|^3, | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $f(x) = a_0 + a_1|x| + a_2|x|^2 + a_3|x|^3$. चूंकि $|x|^2 = x^2$ और $|x|^3 = |x| \cdot x^2$, हम लिख सकते हैं $f(x) = a_0 + a_1|x| + a_

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केवल यदि $a_1=0$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया है $f(x) = a_0 + a_1|x| + a_2|x|^2 + a_3|x|^3$. चूंकि $|x|^2 = x^2$ और $|x|^3 = |x| \cdot x^2$, हम लिख सकते हैं $f(x) = a_0 + a_1|x| + a_2x^2 + a_3|x|x^2$. $f(x)$ के $x=0$ पर अवकलनीय होने के लिए, बायां अवकलज और दायां अवकलज समान होने चाहिए। $x=0$ पर दायां अवकलज: $f'(0^+) = \lim_{h 	o 0^+} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h 	o 0^+} \frac{a_0 + a_1h + a_2h^2 + a_3h^3 - a_0}{h} = \lim_{h 	o 0^+} (a_1 + a_2h + a_3h^2) = a_1$. $x=0$ पर बायां अवकलज: $f'(0^-) = \lim_{h 	o 0^-} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h 	o 0^-} \frac{a_0 + a_1(-h) + a_2h^2 + a_3(-h^3) - a_0}{h} = \lim_{h 	o 0^-} (-a_1 + a_2h - a_3h^2) = -a_1$. अवकलनीयता के लिए, $f'(0^+) = f'(0^-) \implies a_1 = -a_1 \implies 2a_1 = 0 \implies a_1 = 0$. अतः, $f(x)$, $x=0$ पर केवल तभी अवकलनीय है यदि $a_1=0$ हो।

मान लीजिए $f(x)=a_0+a_1|x|+a_2|x|^2+a_3|x|^3$, जहाँ $a_0, a_1, a_2, a_3$ वास्तविक स्थिरांक हैं। तो $f(x)$, $x=0$ पर अवकलनीय है यदि और केवल यदि:

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यदि $f(x) = \text{sgn}(x^3)$ है,तो

मान लीजिए कि $f(x)$ एक अवकलनीय फलन है, जहाँ $f^{\prime}(x)$ सतत है, $f^{\prime}(0)=1$ और $f^{\prime \prime}(0)$ का अस्तित्व नहीं है। यदि $g(x)=x f^{\prime}(x)$ है, तो,

वह बिंदुओं की संख्या,जिन पर फलन $f(x) = |2x+1| - 3|x+2| + |x^2+x-2|$,$x \in R$ अवकलनीय नहीं है,............ है।

यदि $f(x) = \begin{cases} \frac{x-1}{2x^2-7x+5}, & x \neq 1 \text{ के लिए } \\ -\frac{1}{3}, & x=1 \text{ के लिए } \end{cases}$ है,तो $f^{\prime}(1)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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