मान लीजिए कि $f(x)$ एक अवकलनीय फलन है, जहाँ $f^{\prime}(x)$ सतत है, $f^{\prime}(0)=1$ और $f^{\prime \prime}(0)$ का अस्तित्व नहीं है। यदि $g(x)=x f^{\prime}(x)$ है, तो,

फलन $f(x) = \frac{x}{1+|x|}$ के अवकलज का प्रांत क्या है?

मान लीजिए कि एक फलन $g:[0,4] \rightarrow R$ इस प्रकार परिभाषित है:
$g(x) = \begin{cases} \max_{0 \leq t \leq x} \{t^3 - 6t^2 + 9t - 3\} & , 0 \leq x \leq 3 \\ 4 - x & , 3 < x \leq 4 \end{cases}$
तो अंतराल $(0,4)$ में उन बिंदुओं की संख्या ज्ञात कीजिए जहाँ $g(x)$ अवकलनीय नहीं है।

यदि $f: R \rightarrow R$ को $f(x)=|x+1|+|x-1|$ के रूप में परिभाषित किया गया है, तो $f(x)$ है

कथन $(A)$: यदि $y = f(x) = (|x| - |x - 1|)^2$ है,तो $\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=1} = 1$.
कारण $(R)$: यदि $\lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$ का अस्तित्व है,तो इसे $x = a$ पर $f(x)$ का अवकलज कहा जाता है।
तो:

मान लीजिए $g: R \rightarrow R$ एक अवकलनीय फलन है जहाँ $g(0)=0, g^{\prime}(0)=0$ और $g^{\prime}(1) \neq 0$ है। मान लीजिए $f(x)=\begin{cases} \frac{x}{|x|} g(x), & x \neq 0 \\ 0, & x=0 \end{cases}$ और सभी $x \in R$ के लिए $h(x)=e^{|x|}$ है। मान लीजिए $(f \circ h)(x)$ का अर्थ $f(h(x))$ है और $(h \circ f)(x)$ का अर्थ $h(f(x))$ है। तो निम्नलिखित में से कौन सा (से) सत्य है (हैं)?
$(A)$ $f$,$x=0$ पर अवकलनीय है
$(B)$ $h$,$x=0$ पर अवकलनीय है
$(C)$ $f \circ h$,$x=0$ पर अवकलनीय है
$(D)$ $h \circ f$,$x=0$ पर अवकलनीय है