मान लीजिए g: R rightarrow R एक अवकलनीय फलन है | vedclass

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Question

(D) $f(x)$ की $x=0$ पर अवकलनीयता:$	ext{LHD} = \lim_{\delta ightarrow 0^+} \frac{f(0-\delta) - f(0)}{-\delta} = \lim_{\delta ightarrow 0^+} \frac{

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$(A, D)$

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(D) $f(x)$ की $x=0$ पर अवकलनीयता:$	ext{LHD} = \lim_{\delta ightarrow 0^+} \frac{f(0-\delta) - f(0)}{-\delta} = \lim_{\delta ightarrow 0^+} \frac{\frac{-\delta}{|-\delta|} g(-\delta) - 0}{-\delta} = \lim_{\delta ightarrow 0^+} \frac{-g(-\delta)}{-\delta} = g^{\prime}(0) = 0$.$	ext{RHD} = \lim_{\delta ightarrow 0^+} \frac{f(0+\delta) - f(0)}{\delta} = \lim_{\delta ightarrow 0^+} \frac{\frac{\delta}{|\delta|} g(\delta) - 0}{\delta} = \lim_{\delta ightarrow 0^+} \frac{g(\delta)}{\delta} = g^{\prime}(0) = 0$.चूँकि $	ext{LHD} = 	ext{RHD} = 0$,इसलिए $f(x)$,$x=0$ पर अवकलनीय है।$h(x) = e^{|x|}$ की $x=0$ पर अवकलनीयता:$h(x)$,$x=0$ पर अवकलनीय नहीं है क्योंकि $|x|$,$x=0$ पर अवकलनीय नहीं है।$f(h(x))$ की $x=0$ पर अवकलनीयता:चूँकि $h(x) = e^{|x|} > 0$ सभी $x$ के लिए,$f(h(x)) = \frac{h(x)}{|h(x)|} g(h(x)) = 1 \cdot g(e^{|x|}) = g(e^{|x|})$.$	ext{LHD} = \lim_{\delta ightarrow 0^+} \frac{g(e^{|-\delta|}) - g(e^0)}{-\delta} = \lim_{\delta ightarrow 0^+} \frac{g(e^{\delta}) - g(1)}{-\delta} = -g^{\prime}(1)$.$	ext{RHD} = \lim_{\delta ightarrow 0^+} \frac{g(e^{\delta}) - g(1)}{\delta} = g^{\prime}(1)$.चूँकि $g^{\prime}(1) 
eq 0$,इसलिए $f(h(x))$,$x=0$ पर अवकलनीय नहीं है।$h(f(x))$ की $x=0$ पर अवकलनीयता:$h(f(x)) = e^{|f(x)|} = e^{|\frac{x}{|x|} g(x)|} = e^{|g(x)|}$.$	ext{LHD} = \lim_{\delta ightarrow 0^+} \frac{e^{|g(-\delta)|} - e^{|g(0)|}}{-\delta} = \lim_{\delta ightarrow 0^+} \frac{e^{|g(-\delta)|} - 1}{|g(-\delta)|} \cdot \frac{|g(-\delta)|}{-\delta} = 1 \cdot 0 = 0$.$	ext{RHD} = \lim_{\delta ightarrow 0^+} \frac{e^{|g(\delta)|} - 1}{\delta} = \lim_{\delta ightarrow 0^+} \frac{e^{|g(\delta)|} - 1}{|g(\delta)|} \cdot \frac{|g(\delta)|}{\delta} = 1 \cdot 0 = 0$.अतः,$h(f(x))$,$x=0$ पर अवकलनीय है।

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