कथन $(A)$: यदि $y = f(x) = (|x| - |x - 1|)^2$ है,तो $\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=1} = 1$.
कारण $(R)$: यदि $\lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$ का अस्तित्व है,तो इसे $x = a$ पर $f(x)$ का अवकलज कहा जाता है।
तो:

फलन $y = \sin^{-1}\left(\frac{2x}{1 + x^2}\right)$ किस मान के लिए अवकलनीय नहीं है?

दिया गया है $f(x) = \begin{cases} 1 + x & x < 0 \\ 2 - 3x & x \geq 0 \end{cases}$,तो क्रांतिक बिंदु $x = \dots \dots$ ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $g: R \rightarrow R$ एक अवकलनीय फलन है जहाँ $g(0)=0, g^{\prime}(0)=0$ और $g^{\prime}(1) \neq 0$ है। मान लीजिए $f(x)=\begin{cases} \frac{x}{|x|} g(x), & x \neq 0 \\ 0, & x=0 \end{cases}$ और सभी $x \in R$ के लिए $h(x)=e^{|x|}$ है। मान लीजिए $(f \circ h)(x)$ का अर्थ $f(h(x))$ है और $(h \circ f)(x)$ का अर्थ $h(f(x))$ है। तो निम्नलिखित में से कौन सा (से) सत्य है (हैं)?
$(A)$ $f$,$x=0$ पर अवकलनीय है
$(B)$ $h$,$x=0$ पर अवकलनीय है
$(C)$ $f \circ h$,$x=0$ पर अवकलनीय है
$(D)$ $h \circ f$,$x=0$ पर अवकलनीय है

यदि $f(x) = \begin{cases} e^x + a & \text{for } x < 0 \\ x - 3 & \text{for } x \geqslant 0 \end{cases}$ $x = 0$ पर अवकलनीय है,तो $a$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $f(x) = \begin{cases} k \cos x - x \cos k, & x \in [0, \frac{\pi}{2}] \\ k \sin x + x \sin k, & x \in (\frac{\pi}{2}, \pi] \end{cases}$ अंतराल $(0, \pi)$ में अवकलनीय है,तो: