फलन y = sin^{-1}left(frac{2x}{1 + x^2}right) | vedclass

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Question

(B) माना $f(x) = \sin^{-1}\left(\frac{2x}{1 + x^2}ight)$ है।हम जानते हैं कि $\frac{2x}{1 + x^2} = \sin(2	an^{-1}x)$ होता है।अतः,$y = \sin^{-1}(\sin

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$x = 1, -1$

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(B) माना $f(x) = \sin^{-1}\left(\frac{2x}{1 + x^2}ight)$ है।हम जानते हैं कि $\frac{2x}{1 + x^2} = \sin(2	an^{-1}x)$ होता है।अतः,$y = \sin^{-1}(\sin(2	an^{-1}x))$ है।स्थिति $1$: यदि $|x| \le 1$ है,तो $-\frac{\pi}{2} \le 2	an^{-1}x \le \frac{\pi}{2}$,इसलिए $y = 2	an^{-1}x$ है। अवकलज $y' = \frac{2}{1 + x^2}$ है।स्थिति $2$: यदि $x > 1$ है,तो $2	an^{-1}x > \frac{\pi}{2}$,इसलिए $y = \pi - 2	an^{-1}x$ है। अवकलज $y' = -\frac{2}{1 + x^2}$ है।स्थिति $3$: यदि $x $x = 1$ पर,बायां अवकलज $\frac{2}{1 + 1^2} = 1$ है और दायां अवकलज $-\frac{2}{1 + 1^2} = -1$ है।$x = -1$ पर,बायां अवकलज $-\frac{2}{1 + (-1)^2} = -1$ है और दायां अवकलज $\frac{2}{1 + (-1)^2} = 1$ है।चूंकि $x = 1$ और $x = -1$ पर बायां और दायां अवकलज समान नहीं हैं,इसलिए फलन इन बिंदुओं पर अवकलनीय नहीं है।

फलन $y = \sin^{-1}\left(\frac{2x}{1 + x^2}\right)$ किस मान के लिए अवकलनीय नहीं है?

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यदि $f(x) = \begin{cases} A + Bx^2, & x < 1 \\ 3Ax - B + 2, & x \geqslant 1 \end{cases}$ है,तो $A$ और $B$ का मान ज्ञात कीजिए ताकि $f(x)$,$x = 1$ पर अवकलनीय हो।

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फलन $f(x) = \begin{cases} x^2 + bx + c, & x < 1 \\ x, & x \geq 1 \end{cases}$ को परिभाषित कीजिए। यदि $f(x)$,$x = 1$ पर अवकलनीय है,तो $(b - c)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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