मान लीजिए alpha, beta in R इस प्रकार हैं कि फ | vedclass

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Question

(B) $f(x)$ के $x = 1$ पर अवकलनीय होने के लिए, इसे $x = 1$ पर सतत होना चाहिए और $f'(1^-) = f'(1^+)$ होना चाहिए।सबसे पहले, $x = 1$ पर सांतत्य के लिए, $f

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$48$

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(B) $f(x)$ के $x = 1$ पर अवकलनीय होने के लिए, इसे $x = 1$ पर सतत होना चाहिए और $f'(1^-) = f'(1^+)$ होना चाहिए।सबसे पहले, $x = 1$ पर सांतत्य के लिए, $f(1^-) = f(1^+)$ होगा।$f(1^-) = \lim_{x 	o 1^-} (2 \alpha (x^2 - 2) + 2 \beta x) = 2 \alpha (1 - 2) + 2 \beta (1) = -2 \alpha + 2 \beta$.$f(1^+) = (\alpha + 3)(1) + (\alpha - \beta) = 2 \alpha - \beta + 3$.दोनों को बराबर करने पर: $-2 \alpha + 2 \beta = 2 \alpha - \beta + 3 \Rightarrow 4 \alpha - 3 \beta = -3$ $\quad (1)$.इसके बाद, अवकलनीयता के लिए, $f'(1^-) = f'(1^+)$ होगा।$x  1$ के लिए $f'(x) = \alpha + 3$ है।$f'(1^-) = 4 \alpha + 2 \beta$.$f'(1^+) = \alpha + 3$.दोनों को बराबर करने पर: $4 \alpha + 2 \beta = \alpha + 3 \Rightarrow 3 \alpha + 2 \beta = 3$ $\quad (2)$.समीकरण $(1)$ और $(2)$ को हल करने पर:$(2)$ से, $2 \beta = 3 - 3 \alpha \Rightarrow \beta = \frac{3 - 3 \alpha}{2}$.इसे $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $4 \alpha - 3(\frac{3 - 3 \alpha}{2}) = -3 \Rightarrow 8 \alpha - 9 + 9 \alpha = -6 \Rightarrow 17 \alpha = 3 \Rightarrow \alpha = \frac{3}{17}$.अतः $\beta = \frac{3 - 3(3/17)}{2} = \frac{3 - 9/17}{2} = \frac{42/17}{2} = \frac{21}{17}$.इस प्रकार, $34(\alpha + \beta) = 34(\frac{3}{17} + \frac{21}{17}) = 34(\frac{24}{17}) = 2 	imes 24 = 48$.

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यदि फलन $g(x) = \begin{cases} ae^x, & x \le 0 \\ b\cos x + x, & x > 0 \end{cases}$ अवकलनीय है,तो $a^2 + b^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

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