मान लीजिए $729, 81, 9, 1, \dots$ एक अनुक्रम है और $P_{n}$ इस अनुक्रम के प्रथम $n$ पदों का गुणनफल दर्शाता है। यदि $2\sum_{n=1}^{40}(P_{n})^{\frac{1}{n}}=\frac{3^{\alpha}-1}{3^{\beta}}$ और $\gcd(\alpha,\beta)=1$ है, तो $\alpha+\beta$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $x, y, z$ $G.P.$ में हैं और $a^x = b^y = c^z$ है,तो

एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $20$ है,और इसके पदों के वर्गों का योग $100$ है। गुणोत्तर श्रेणी का सार्व अनुपात ज्ञात कीजिए।

एक कण मूल बिंदु से शुरू होता है और $1$ इकाई क्षैतिज रूप से दाईं ओर चलता है और $P_{1}$ पर पहुँचता है, फिर यह $\frac{1}{2}$ इकाई लंबवत ऊपर की ओर चलता है और $P_{2}$ पर पहुँचता है, फिर यह $\frac{1}{4}$ इकाई क्षैतिज रूप से दाईं ओर चलता है और $P_{3}$ पर पहुँचता है, फिर यह $\frac{1}{8}$ इकाई लंबवत नीचे की ओर चलता है और $P_{4}$ पर पहुँचता है, फिर यह $\frac{1}{16}$ इकाई क्षैतिज रूप से दाईं ओर चलता है और $P_{5}$ पर पहुँचता है और इसी तरह आगे बढ़ता है। मान लीजिए $P_{n} = (x_{n}, y_{n})$ और $\lim_{n \rightarrow \infty} x_{n} = \alpha$ और $\lim_{n \rightarrow \infty} y_{n} = \beta$. तो, $(\alpha, \beta)$ है

एक गुणोत्तर श्रेणी के पहले दस पदों का योग $S_1$ है और अगले दस पदों ($11$ से $20$) का योग $S_2$ है। तो सार्व अनुपात क्या होगा?

यदि एक $G.P.$ का $(p + q)^{th}$ पद $m$ है और $(p - q)^{th}$ पद $n$ है,तो $p^{th}$ पद क्या होगा?