मान लीजिए f(x) = int frac{(2-x^2)e^x}{(sqrt{1 | vedclass

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Question

(A) हमारे पास $f(x) = \int e^x \left( \frac{2-x^2}{\sqrt{1+x}(1-x)^{3/2}} \right) dx$ है। अंश को $(1-x^2) + 1$ के रूप में लिखने पर: $f(x) = \int e^x \

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$\sqrt{3e}-1$

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(A) हमारे पास $f(x) = \int e^x \left( \frac{2-x^2}{\sqrt{1+x}(1-x)^{3/2}} \right) dx$ है। अंश को $(1-x^2) + 1$ के रूप में लिखने पर: $f(x) = \int e^x \left( \frac{1-x^2}{\sqrt{1+x}(1-x)^{3/2}} + \frac{1}{\sqrt{1+x}(1-x)^{3/2}} \right) dx$. पहले पद को सरल करने पर: $\frac{(1-x)(1+x)}{\sqrt{1+x}(1-x)^{3/2}} = \frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{1-x}} = \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$. मान लीजिए $g(x) = \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$ है। तब $g'(x) = \frac{1}{2} \left( \frac{1+x}{1-x} \right)^{-1/2} \cdot \frac{(1-x)(1) - (1+x)(-1)}{(1-x)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} \cdot \frac{2}{(1-x)^2} = \frac{1}{\sqrt{1+x}(1-x)^{3/2}}$. अतः, समाकलन $\int e^x (g(x) + g'(x)) dx = e^x g(x) + C$ के रूप में है। इसलिए, $f(x) = e^x \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} + C$. चूंकि $f(0) = 0$ दिया गया है, $0 = e^0 \sqrt{\frac{1}{1}} + C \implies 0 = 1 + C \implies C = -1$. अतः, $f(x) = e^x \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} - 1$. $x = \frac{1}{2}$ के लिए, $f(\frac{1}{2}) = e^{1/2} \sqrt{\frac{1+1/2}{1-1/2}} - 1 = \sqrt{e} \sqrt{\frac{3/2}{1/2}} - 1 = \sqrt{e} \sqrt{3} - 1 = \sqrt{3e} - 1$.

मान लीजिए $f(x) = \int \frac{(2-x^2)e^x}{(\sqrt{1+x})(1-x)^{3/2}} dx$ है। यदि $f(0) = 0$ है, तो $f(\frac{1}{2})$ का मान ज्ञात कीजिए:

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$\int e^x \left( \frac{2 + \sin 2x}{1 + \cos 2x} \right) dx = $

अभिकथन $(A)$: $\int_2^e \left(\frac{1}{\log_e x} - \frac{1}{(\log_e x)^2}\right) dx = e - 2 \log_2 e$
तर्क $(R)$: $\int_a^b e^x (f(x) + f'(x)) dx = e^b f(b) - e^a f(a)$

यदि $\int e^{2x} f^{\prime}(x) dx = g(x)$ है, तो $\int (e^{2x} f(x) + e^{2x} f^{\prime}(x)) dx =$

यदि $f(x) = \frac{1}{\log x}$ और $g(x) = \frac{1}{(\log x)^2}$ है, तो $\int [f(x) - g(x)] dx$ का मान है...

$\int 2^{x} [f^{\prime}(x) + f(x) \log 2] \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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