ધારો કે f(x) = int frac{(2-x^2)e^x}{(sqrt{1+x | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપણી પાસે $f(x) = \int e^x \left( \frac{2-x^2}{\sqrt{1+x}(1-x)^{3/2}} \right) dx$ છે. અંશને $(1-x^2) + 1$ તરીકે લખતા: $f(x) = \int e^x \left( \fra

Vedclass · Accepted Answer

$\sqrt{3e}-1$

Vedclass · Answer

(A) આપણી પાસે $f(x) = \int e^x \left( \frac{2-x^2}{\sqrt{1+x}(1-x)^{3/2}} \right) dx$ છે. અંશને $(1-x^2) + 1$ તરીકે લખતા: $f(x) = \int e^x \left( \frac{1-x^2}{\sqrt{1+x}(1-x)^{3/2}} + \frac{1}{\sqrt{1+x}(1-x)^{3/2}} \right) dx$. પ્રથમ પદનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{(1-x)(1+x)}{\sqrt{1+x}(1-x)^{3/2}} = \frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{1-x}} = \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$. ધારો કે $g(x) = \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$. તો $g'(x) = \frac{1}{2} \left( \frac{1+x}{1-x} \right)^{-1/2} \cdot \frac{(1-x)(1) - (1+x)(-1)}{(1-x)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} \cdot \frac{2}{(1-x)^2} = \frac{1}{\sqrt{1+x}(1-x)^{3/2}}$. આમ, સંકલન $\int e^x (g(x) + g'(x)) dx = e^x g(x) + C$ સ્વરૂપમાં છે. તેથી, $f(x) = e^x \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} + C$. $f(0) = 0$ આપેલ હોવાથી, $0 = e^0 \sqrt{\frac{1}{1}} + C \implies 0 = 1 + C \implies C = -1$. તેથી, $f(x) = e^x \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} - 1$. $x = \frac{1}{2}$ માટે, $f(\frac{1}{2}) = e^{1/2} \sqrt{\frac{1+1/2}{1-1/2}} - 1 = \sqrt{e} \sqrt{\frac{3/2}{1/2}} - 1 = \sqrt{e} \sqrt{3} - 1 = \sqrt{3e} - 1$.

ધારો કે $f(x) = \int \frac{(2-x^2)e^x}{(\sqrt{1+x})(1-x)^{3/2}} dx$. જો $f(0) = 0$ હોય, તો $f(\frac{1}{2})$ ની કિંમત શોધો:

Similar Questions

જો $\int e^{2x} \frac{2(\sin 2x \cos 2x - 1)}{2 \sin^2 2x} dx = A e^{2x} \cot 2x + c$ (જ્યાં $c$ એ સંકલનનો અચળાંક છે), તો $A^3 =$ ?

$\int {{e^{2x}}( - \sin x + 2\cos x)\,dx} = $

$\int \frac{x e^x}{(1 + x)^2} dx = $

$\int \frac{3^x(x \log 3-1)}{x^2} d x=$

$\int {{e^{\sin x}}\left( {\sin x + {{\sec }^2}x} \right)} \,dx$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module