मान लीजिए (alpha, beta, gamma) बिंदु (5, 4, 2 | vedclass

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Question

(C) रेखा का समीकरण $\vec{r} = (-\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}) + \lambda(2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k})$ है।इसे कार्तीय रूप में $\frac{x+1}{2} = \frac{

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$\frac{18}{7}$

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(C) रेखा का समीकरण $\vec{r} = (-\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}) + \lambda(2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k})$ है।इसे कार्तीय रूप में $\frac{x+1}{2} = \frac{y-3}{3} = \frac{z-1}{-1} = \lambda$ के रूप में लिखा जा सकता है।रेखा पर कोई भी सामान्य बिंदु $P$, $(2\lambda - 1, 3\lambda + 3, -\lambda + 1)$ है।मान लीजिए दिया गया बिंदु $A = (5, 4, 2)$ है।सदिश $\vec{AP} = (2\lambda - 1 - 5)\hat{i} + (3\lambda + 3 - 4)\hat{j} + (-\lambda + 1 - 2)\hat{k} = (2\lambda - 6)\hat{i} + (3\lambda - 1)\hat{j} + (-\lambda - 1)\hat{k}$ है।चूंकि $\vec{AP}$ रेखा के लंबवत है, इसलिए रेखा के दिशा सदिश $(2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k})$ के साथ इसका अदिश गुणनफल शून्य होना चाहिए।$(2\lambda - 6)(2) + (3\lambda - 1)(3) + (-\lambda - 1)(-1) = 0$.$4\lambda - 12 + 9\lambda - 3 + \lambda + 1 = 0$.$14\lambda - 14 = 0 \Rightarrow \lambda = 1$.$\lambda = 1$ को $P$ के निर्देशांकों में रखने पर, हमें $\alpha = 2(1) - 1 = 1$, $\beta = 3(1) + 3 = 6$, और $\gamma = -1 + 1 = 0$ प्राप्त होता है।अतः, सदिश $\vec{u} = \alpha\hat{i} + \beta\hat{j} + \gamma\hat{k} = \hat{i} + 6\hat{j} + 0\hat{k}$ है।मान लीजिए $\vec{w} = 6\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ है।$\vec{u}$ का $\vec{w}$ पर प्रक्षेप की लंबाई $\frac{|\vec{u} \cdot \vec{w}|}{|\vec{w}|}$ द्वारा दी जाती है।$\vec{u} \cdot \vec{w} = (1)(6) + (6)(2) + (0)(3) = 6 + 12 + 0 = 18$.$|\vec{w}| = \sqrt{6^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 4 + 9} = \sqrt{49} = 7$.इसलिए, प्रक्षेप की लंबाई $\frac{18}{7}$ है।

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यदि $A(3,4,5)$, $B(4,6,3)$, $C(-1,2,4)$ और $D(1,0,5)$ बिंदु इस प्रकार हैं कि रेखाओं $DC$ और $AB$ के बीच का कोण $\theta$ है, तो $\cos \theta$ का मान ज्ञात कीजिए।

बिंदुओं $(5, 1, a)$ और $(3, b, 1)$ से गुजरने वाली रेखा $yz$-समतल को $\left(0, \frac{17}{2}, \frac{-13}{2}\right)$ पर काटती है,तो $2a + 3b$ का मान ज्ञात कीजिए।

दर्शाइए कि बिंदुओं $(1, -1, 2)$ और $(3, 4, -2)$ से होकर जाने वाली रेखा,बिंदुओं $(0, 3, 2)$ और $(3, 5, 6)$ से होकर जाने वाली रेखा पर लंब है।

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