ધારો કે f(x) = begin{cases} e^{x-1}; x

Question

(D) આપેલ છે કે $x < 0$ માટે $f(x) = e^{x-1}$ અને $x \ge 0$ માટે $f(x) = x^2 - 5x + 6$. $x = 0$ આગળ, $f(0^-) = e^{-1} \approx 0.368$ અને $f(0^+) = 0^2

Vedclass · Accepted Answer

$4$

Vedclass · Answer

(D) આપેલ છે કે $x $x = 0$ આગળ, $f(0^-) = e^{-1} \approx 0.368$ અને $f(0^+) = 0^2 - 5(0) + 6 = 6$. $f(0^-) 
eq f(0^+)$ હોવાથી, $f(x)$ એ $x = 0$ આગળ અસતત છે. હવે, $g(x) = f(|x|) + |f(x)|$. $x $x \ge 0$ માટે, $g(x) = f(x) + |f(x)|$. જો $f(x) \ge 0$ (એટલે કે $x \in [0, 2] \cup [3, \infty)$), તો $g(x) = 2f(x) = 2(x^2 - 5x + 6)$. જો $f(x) સાતત્ય તપાસતા: $x = 0$ આગળ, $g(0^-) = 0^2 + 5(0) + 6 + e^{-1} = 6 + e^{-1}$ અને $g(0^+) = 2(6) = 12$. $6 + e^{-1} 
eq 12$ હોવાથી, $g(x)$ એ $x = 0$ આગળ અસતત છે. તેથી, $\alpha = 1$. વિકલનીયતા તપાસતા: $g(x)$ એ $x = 0$ આગળ વિકલનીય નથી (અસતત હોવાથી). $x > 0$ માટે, $g(x)$ એ $x \in [0, 2] \cup [3, \infty)$ માટે $2(x^2 - 5x + 6)$ અને $x \in (2, 3)$ માટે $0$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે. $x = 2$ આગળ, $g(2^-) = 2(4 - 10 + 6) = 0$ અને $g(2^+) = 0$. $g'(2^-) = 2(2x - 5)|_{x=2} = -2$, જ્યારે $g'(2^+) = 0$. તેથી $x = 2$ આગળ વિકલનીય નથી. $x = 3$ આગળ, $g(3^-) = 0$ અને $g(3^+) = 2(9 - 15 + 6) = 0$. $g'(3^-) = 0$, જ્યારે $g'(3^+) = 2(2x - 5)|_{x=3} = 2$. તેથી $x = 3$ આગળ વિકલનીય નથી. આમ, $g(x)$ એ $x = 0, 2, 3$ આગળ વિકલનીય નથી. તેથી $\beta = 3$. તેથી, $\alpha + \beta = 1 + 3 = 4$.

List-$I$	List-$II$
$(A) \sin ^{-1}\left(\frac{2 x}{1+x^2}\right)$	$(I) \cos x-\sin x$
$(B) \tan ^{-1}\left(\frac{1-x}{1+x}\right)$	$(II) \frac{-1}{1+x^2}$
$(C) e^{\log (\sin x+\cos x)}$	$(III) \frac{2}{1+x^2}$
$(D) \sqrt{1-\sin 2 x} \text{ માટે } (0 < x < \frac{\pi}{4})$	$(IV) \cos x+\sin x$
	$(V) -\sin x-\cos x$

Similar Questions

વિધેય $f(x) = \max\{6x, 2+3x^2\} + |x-1| |\cos(x^2 - 1/4)|, x \in (-\pi, \pi)$ જે બિંદુઓ આગળ વિકલનીય નથી, તેવા બિંદુઓની સંખ્યા ———— છે.

સમીકરણ $e^{6x} - e^{4x} - 2e^{3x} - 12e^{2x} + e^{x} + 1 = 0$ ના વાસ્તવિક ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module