ધારો કે $\vec{a}_n = (\tan \theta_n)\hat{i} + \hat{j}$ અને $\vec{b}_n = \hat{i} - (\cot \theta_n)\hat{j}$, જ્યાં $\theta_n = \frac{2^{n-1}\pi}{2^n+1}$, કોઈ $n \in N, n > 5$ માટે. તો $\frac{\sum_{k=1}^n |\vec{a}_k|^2}{\sum_{k=1}^n |\vec{b}_k|^2}$ નું મૂલ્ય . . . . . . છે.

આપેલ આકૃતિમાં,જો સદિશ $x$ એ સમીકરણ $x - w = v$ નું પાલન કરતું હોય,તો $x = ?$

ધારો કે $\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}$,$\vec{b}=2\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}$ અને $\vec{c}=\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ ત્રણ આપેલા સદિશો છે. ધારો કે $\vec{v}$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ના સમતલમાં આવેલો સદિશ છે,જેનો $\vec{c}$ પરનો પ્રક્ષેપ $\frac{2}{\sqrt{3}}$ છે. જો $\vec{v} \cdot \hat{j}=7$ હોય,તો $\vec{v} \cdot (\hat{i}+\hat{k})$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $\vec{w}=\hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$,અને $\vec{u}$ અને $\vec{v}$ બે સદિશો છે જેથી $\vec{u} \times \vec{v}=\vec{w}$ અને $\vec{v} \times \vec{w}=\vec{u}$. ધારો કે $\alpha, \beta, \gamma$ અને $t$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે જેથી $\vec{u}=\alpha \hat{i}+\beta \hat{j}+\gamma \hat{k}$,$-t \alpha+\beta+\gamma=0$,$\alpha-t \beta+\gamma=0$,અને $\alpha+\beta-t \gamma=0$. List-$I$ ની દરેક એન્ટ્રીને List-$II$ ની સાચી એન્ટ્રી સાથે જોડો અને સાચો વિકલ્પ પસંદ કરો.

List-$I$	List-$II$
$(P)$ $|\vec{v}|^2$ બરાબર છે	$(1)$ $0$
$(Q)$ જો $\alpha=\sqrt{3}$,તો $\gamma^2$ બરાબર છે	$(2)$ $1$
$(R)$ જો $\alpha=\sqrt{3}$,તો $(\beta+\gamma)^2$ બરાબર છે	$(3)$ $2$
$(S)$ જો $\alpha=\sqrt{2}$,તો $t+3$ બરાબર છે	$(4)$ $3$
	$(5)$ $5$

સદિશ $\frac{1}{3}(2i - 2j + k)$ એ

જો સદિશ $\vec{a} = (x, y, z)$ એ $y$-અક્ષ સાથે ગુરુકોણ બનાવે છે અને સદિશો $\vec{b} = (y, -2z, 3x)$ અને $\vec{c} = (2z, 3x, -y)$ સાથે સમાન ખૂણો બનાવે છે,અને જો $|\vec{a}| = 2\sqrt{3}$ અને $\vec{a}$ એ $\vec{d} = (1, -1, 2)$ ને લંબ હોય,તો સદિશ $\vec{a}$ શોધો.