मान लीजिए कि f(x) एक गैर-ऋणात्मक सतत फलन है,इ | vedclass

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Question

(B) दिया गया है कि वक्र $y = f(x)$ द्वारा $x = \frac{\pi}{4}$ से $x = \beta$ तक घिरा क्षेत्रफल $\int_{\pi/4}^{\beta} f(x) dx = \beta \sin \beta + \fra

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$\left( 1 - \frac{\pi}{4} + \sqrt{2} \right)$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया है कि वक्र $y = f(x)$ द्वारा $x = \frac{\pi}{4}$ से $x = \beta$ तक घिरा क्षेत्रफल $\int_{\pi/4}^{\beta} f(x) dx = \beta \sin \beta + \frac{\pi}{4} \cos \beta + \sqrt{2} \beta$ है। कलन के मूलभूत प्रमेय का उपयोग करते हुए,हम $\beta$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करते हैं: $\frac{d}{d\beta} \left( \int_{\pi/4}^{\beta} f(x) dx \right) = \frac{d}{d\beta} \left( \beta \sin \beta + \frac{\pi}{4} \cos \beta + \sqrt{2} \beta \right)$. $\beta \sin \beta$ के लिए गुणन नियम का उपयोग करते हुए: $f(\beta) = (1 \cdot \sin \beta + \beta \cos \beta) - \frac{\pi}{4} \sin \beta + \sqrt{2}$. अब,$f(\beta)$ के व्यंजक में $\beta = \frac{\pi}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर: $f\left( \frac{\pi}{2} \right) = \sin\left( \frac{\pi}{2} \right) + \frac{\pi}{2} \cos\left( \frac{\pi}{2} \right) - \frac{\pi}{4} \sin\left( \frac{\pi}{2} \right) + \sqrt{2}$. चूंकि $\sin\left( \frac{\pi}{2} \right) = 1$ और $\cos\left( \frac{\pi}{2} \right) = 0$ है: $f\left( \frac{\pi}{2} \right) = 1 + 0 - \frac{\pi}{4}(1) + \sqrt{2} = 1 - \frac{\pi}{4} + \sqrt{2}$.

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