मान लीजिए f(x) = frac{sin x}{x},तो int_{0}^{f | vedclass

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Question

(D) दिया गया है $f(x) = \frac{\sin x}{x}$. हमें $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x) f\left(\frac{\pi}{2} - x\right) dx$ का मान ज्ञात करना है। फलन का मा

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$\frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} f(x) dx$

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(D) दिया गया है $f(x) = \frac{\sin x}{x}$. हमें $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x) f\left(\frac{\pi}{2} - x\right) dx$ का मान ज्ञात करना है। फलन का मान रखने पर,$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{\sin(\frac{\pi}{2} - x)}{\frac{\pi}{2} - x} dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x \cos x}{x(\frac{\pi}{2} - x)} dx$. इसे सरल करने पर $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin 2x}{2x(\frac{\pi}{2} - x)} dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin 2x}{x(\pi - 2x)} dx$ प्राप्त होता है। मान लीजिए $t = 2x$,तो $dt = 2dx$ या $dx = \frac{dt}{2}$. जब $x=0, t=0$ और जब $x=\frac{\pi}{2}, t=\pi$. $I = \int_{0}^{\pi} \frac{\sin t}{t(\pi - t)} \cdot \frac{dt}{2} = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} \frac{\sin t}{t(\pi - t)} dt$. आंशिक भिन्न का उपयोग करते हुए,$\frac{1}{t(\pi - t)} = \frac{1}{\pi} \left( \frac{1}{t} + \frac{1}{\pi - t} \right)$. $I = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{\pi} \sin t \left( \frac{1}{t} + \frac{1}{\pi - t} \right) dt = \frac{1}{2\pi} \left( \int_{0}^{\pi} \frac{\sin t}{t} dt + \int_{0}^{\pi} \frac{\sin t}{\pi - t} dt \right)$. दूसरे समाकलन में,मान लीजिए $u = \pi - t$,तो $du = -dt$. समाकलन $\int_{0}^{\pi} \frac{\sin u}{u} du$ बन जाता है। अतः,$I = \frac{1}{2\pi} \left( 2 \int_{0}^{\pi} \frac{\sin t}{t} dt \right) = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} f(t) dt$.

मान लीजिए $f(x) = \frac{\sin x}{x}$,तो $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x) f\left(\frac{\pi}{2} - x\right) dx =$

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