int_{-1}^{0} frac{4x^2 + 4x + 3}{1 + e^{2x + | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int_{-1}^{0} \frac{4x^2 + 4x + 3}{1 + e^{2x + 1}} dx$ है। यहाँ $4x^2 + 4x + 3 = (2x + 1)^2 + 2$ है। $t = 2x + 1$ प्रतिस्थापित करने पर,$

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$\frac{7}{6}$

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(C) माना $I = \int_{-1}^{0} \frac{4x^2 + 4x + 3}{1 + e^{2x + 1}} dx$ है। यहाँ $4x^2 + 4x + 3 = (2x + 1)^2 + 2$ है। $t = 2x + 1$ प्रतिस्थापित करने पर,$dt = 2dx$ या $dx = \frac{dt}{2}$ प्राप्त होता है। जब $x = -1$ है,तो $t = -1$ और जब $x = 0$ है,तो $t = 1$ होता है। $I = \int_{-1}^{1} \frac{t^2 + 2}{1 + e^t} \cdot \frac{dt}{2} = \frac{1}{2} \int_{-1}^{1} \frac{t^2 + 2}{1 + e^t} dt$। गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(t) dt = \int_{a}^{b} f(a+b-t) dt$ का उपयोग करने पर,यहाँ $a+b = 0$ है,अतः $I = \frac{1}{2} \int_{-1}^{1} \frac{(-t)^2 + 2}{1 + e^{-t}} dt = \frac{1}{2} \int_{-1}^{1} \frac{t^2 + 2}{1 + e^{-t}} \cdot \frac{e^t}{e^t} dt = \frac{1}{2} \int_{-1}^{1} \frac{(t^2 + 2)e^t}{e^t + 1} dt$। $I$ के दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $2I = \frac{1}{2} \int_{-1}^{1} \frac{t^2 + 2}{1 + e^t} dt + \frac{1}{2} \int_{-1}^{1} \frac{(t^2 + 2)e^t}{1 + e^t} dt = \frac{1}{2} \int_{-1}^{1} (t^2 + 2) \frac{1 + e^t}{1 + e^t} dt = \frac{1}{2} \int_{-1}^{1} (t^2 + 2) dt$। चूँकि $t^2 + 2$ एक सम फलन है,$\int_{-1}^{1} (t^2 + 2) dt = 2 \int_{0}^{1} (t^2 + 2) dt$। $2I = \frac{1}{2} \cdot 2 \int_{0}^{1} (t^2 + 2) dt = \left[ \frac{t^3}{3} + 2t \right]_{0}^{1} = \frac{1}{3} + 2 = \frac{7}{3}$। अतः,$2I = \frac{7}{3} \implies I = \frac{7}{6}$।

$\int_{-1}^{0} \frac{4x^2 + 4x + 3}{1 + e^{2x + 1}} dx = $

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