int_0^{frac{pi}{4}} frac{cos ^2 x}{cos ^2 x+4 | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int_0^{\pi / 4} \frac{\cos ^2 x}{\cos ^2 x+4 \sin ^2 x} d x$. अंश और हर को $\cos^2 x$ से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है: $I = \i

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$-\frac{\pi}{12}+\frac{2}{3} 	an ^{-1} 2$

Vedclass · Answer

(C) माना $I = \int_0^{\pi / 4} \frac{\cos ^2 x}{\cos ^2 x+4 \sin ^2 x} d x$. अंश और हर को $\cos^2 x$ से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है: $I = \int_0^{\pi / 4} \frac{1}{1+4 	an ^2 x} d x$. माना $	an x = t$, तब $\sec^2 x dx = dt$, जिसका अर्थ है $dx = \frac{dt}{1+t^2}$. जब $x=0, t=0$ और जब $x=\frac{\pi}{4}, t=1$. अतः, $I = \int_0^1 \frac{1}{(1+t^2)(1+4t^2)} dt$. आंशिक भिन्न का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{(1+t^2)(1+4t^2)} = \frac{1}{3} \left( \frac{4}{1+4t^2} - \frac{1}{1+t^2} ight)$. $I = \frac{1}{3} \int_0^1 \left( \frac{4}{1+4t^2} - \frac{1}{1+t^2} ight) dt$. $I = \frac{1}{3} \left[ 2 	an^{-1}(2t) - 	an^{-1}(t) ight]_0^1$. $I = \frac{1}{3} \left[ (2 	an^{-1}(2) - 	an^{-1}(1)) - (0 - 0) ight]$. $I = \frac{1}{3} \left[ 2 	an^{-1}(2) - \frac{\pi}{4} ight] = \frac{2}{3} 	an^{-1}(2) - \frac{\pi}{12}$.

$\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos ^2 x}{\cos ^2 x+4 \sin ^2 x} d x=$

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