मान लीजिए a 0 और f अंतराल [-a, a] में सतत ह | vedclass

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Question

(A) अंतराल $[-a, 0]$ पर लैग्रेंज का माध्य मान प्रमेय $(LMVT)$ लागू करने पर,कोई $c_1 \in (-a, 0)$ मौजूद है ताकि $f'(c_1) = \frac{f(0) - f(-a)}{0 - (-a)

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$0$ के बराबर है

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(A) अंतराल $[-a, 0]$ पर लैग्रेंज का माध्य मान प्रमेय $(LMVT)$ लागू करने पर,कोई $c_1 \in (-a, 0)$ मौजूद है ताकि $f'(c_1) = \frac{f(0) - f(-a)}{0 - (-a)} = \frac{f(0) + a}{a}$ हो।चूंकि $f'(c_1) \le 1$,इसलिए $\frac{f(0) + a}{a} \le 1$,जिसका अर्थ है $f(0) + a \le a$,यानी $f(0) \le 0$ है।अंतराल $[0, a]$ पर $LMVT$ लागू करने पर,कोई $c_2 \in (0, a)$ मौजूद है ताकि $f'(c_2) = \frac{f(a) - f(0)}{a - 0} = \frac{a - f(0)}{a}$ हो।चूंकि $f'(c_2) \le 1$,इसलिए $\frac{a - f(0)}{a} \le 1$,जिसका अर्थ है $a - f(0) \le a$,यानी $-f(0) \le 0$,या $f(0) \ge 0$ है।अतः,$f(0) \le 0$ और $f(0) \ge 0$ होने के कारण,$f(0) = 0$ होना चाहिए।

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