मान लीजिए f एक ऐसा फलन है कि f(x) = sum_{r=1} | vedclass

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Question

(B) $f(x) = \sum_{r=1}^n r + \sum_{r=1}^n [\cos(\frac{x}{r})]$.चूंकि $r$ एक पूर्णांक है,$[r + \cos(\frac{x}{r})] = r + [\cos(\frac{x}{r})]$.$f(x) = \f

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$\{\frac{n^2+n-2}{2}, \frac{n^2+n}{2}, \frac{n^2+3n}{2}\}$

Vedclass · Answer

(B) $f(x) = \sum_{r=1}^n r + \sum_{r=1}^n [\cos(\frac{x}{r})]$.चूंकि $r$ एक पूर्णांक है,$[r + \cos(\frac{x}{r})] = r + [\cos(\frac{x}{r})]$.$f(x) = \frac{n(n+1)}{2} + \sum_{r=1}^n [\cos(\frac{x}{r})]$.$x \in [0, \pi]$ के लिए,$0 \le \frac{x}{r} \le \pi$. अतः,$\cos(\frac{x}{r}) \in [-1, 1]$.यदि $x=0$,तो सभी $r$ के लिए $\cos(\frac{x}{r}) = 1$,इसलिए $[\cos(\frac{x}{r})] = 1$. अतः,$f(0) = \frac{n(n+1)}{2} + n = \frac{n^2+3n}{2}$.यदि $x \in (0, \pi]$,तो $\cos(\frac{x}{r}) यदि $x = \frac{\pi}{2}$,तो सभी $r \ge 1$ के लिए $\cos(\frac{\pi}{2r}) \ge 0$,इसलिए $[\cos(\frac{\pi}{2r})] = 0$. अतः,$f(\frac{\pi}{2}) = \frac{n(n+1)}{2}$.यदि $x = \pi$,तो $r=1$ के लिए $\cos(\frac{\pi}{r}) = -1$ और $r > 1$ के लिए $\cos(\frac{\pi}{r}) \in (-1, 1)$. अतः,$[\cos(\pi)] = -1$ और $r > 1$ के लिए $[\cos(\frac{\pi}{r})] = 0$. अतः,$f(\pi) = \frac{n(n+1)}{2} - 1 = \frac{n^2+n-2}{2}$.अतः,परिसर $\{\frac{n^2+n-2}{2}, \frac{n^2+n}{2}, \frac{n^2+3n}{2}\}$ है।

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