माना एक रेखा L_{1} अतिपरवलय frac{x^{2}}{16}-f | vedclass

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Question

(B) अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{4}=1$ के बिंदु $(4 \sec 	heta, 2 	an 	heta)$ पर स्पर्श रेखा $L_{1}$ का समीकरण $\frac{x \sec 	heta}{4}-

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$12$

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(B) अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{4}=1$ के बिंदु $(4 \sec 	heta, 2 	an 	heta)$ पर स्पर्श रेखा $L_{1}$ का समीकरण $\frac{x \sec 	heta}{4}-\frac{y 	an 	heta}{2}=1$ है।$L_{1}$ की ढाल $m_{1} = \frac{\sec 	heta}{2 	an 	heta}$ है।माना प्रतिच्छेदन बिंदु $(h, k)$ है। चूँकि $L_{2}$,$(0, 0)$ और $(h, k)$ से गुजरती है,इसकी ढाल $m_{2} = \frac{k}{h}$ है।चूँकि $L_{1} \perp L_{2}$,$m_{1} m_{2} = -1$,इसलिए $\frac{k}{h} \cdot \frac{\sec 	heta}{2 	an 	heta} = -1$,जिससे $\sin 	heta = -\frac{k}{2h}$ प्राप्त होता है।अतः $\cos^{2} 	heta = 1 - \frac{k^{2}}{4h^{2}} = \frac{4h^{2}-k^{2}}{4h^{2}}$,यानी $\cos 	heta = \frac{\sqrt{4h^{2}-k^{2}}}{2h}$।इन मानों को स्पर्श रेखा के समीकरण में रखने पर:$\frac{h}{4} \cdot \frac{2h}{\sqrt{4h^{2}-k^{2}}} - \frac{k}{2} \cdot \left( \frac{-k}{\sqrt{4h^{2}-k^{2}}} ight) = 1$$\frac{2h^{2}+k^{2}}{2\sqrt{4h^{2}-k^{2}}} = 1 \implies 2h^{2}+k^{2} = 2\sqrt{4h^{2}-k^{2}}$दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(2h^{2}+k^{2})^{2} = 4(4h^{2}-k^{2}) = 16h^{2}-4k^{2}$।$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,हमें $(x^{2}+y^{2})^{2} = 16x^{2}-4y^{2}$ प्राप्त होता है।अतः $\alpha=16$ और $\beta=-4$।$\alpha+\beta = 16-4 = 12$.

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