मान लीजिए कि बिंदु P(1, 1, 1) से गुजरने वाली | vedclass

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Question

(B) दी गई दो रेखाओं के दिशा सदिश $\vec{d}_1 = \langle 4, 1, 1 \rangle$ और $\vec{d}_2 = \langle 1, 1, 0 \rangle$ हैं। चूंकि रेखा $L$ दोनों के लंबवत है,

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$6$

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(B) दी गई दो रेखाओं के दिशा सदिश $\vec{d}_1 = \langle 4, 1, 1 angle$ और $\vec{d}_2 = \langle 1, 1, 0 angle$ हैं। चूंकि रेखा $L$ दोनों के लंबवत है, इसलिए इसका दिशा सदिश $\vec{d}_L = \vec{d}_1 	imes \vec{d}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 4 & 1 & 1 \ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \langle -1, 1, 3 angle$ है। बिंदु $P(1, 1, 1)$ से गुजरने वाली रेखा $L$ का समीकरण $\vec{r}(t) = \langle 1-t, 1+t, 1+3t angle$ है। $yz$-समतल पर बिंदु $Q$ के लिए, $x = 0 \Rightarrow 1-t = 0 \Rightarrow t = 1$ है। अतः, $Q = (0, 2, 4)$ है। बिंदु $S(1, 0, -1)$ से गुजरने वाली $L$ के समानांतर रेखा $\vec{r}'(u) = \langle 1-u, u, -1+3u angle$ है। $yz$-समतल पर बिंदु $R$ के लिए, $x = 0 \Rightarrow 1-u = 0 \Rightarrow u = 1$ है। अतः, $R = (0, 1, 2)$ है। समांतर चतुर्भुज $PQRS$ के आसन्न सदिश $\vec{PQ} = Q - P = \langle -1, 1, 3 angle$ और $\vec{PS} = S - P = \langle 0, -1, -2 angle$ हैं। क्षेत्रफल सदिश $\vec{A} = \vec{PQ} 	imes \vec{PS} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ -1 & 1 & 3 \ 0 & -1 & -2 \end{vmatrix} = \langle 1, -2, 1 angle$ है। क्षेत्रफल $|\vec{A}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{6}$ है। क्षेत्रफल का वर्ग $(\sqrt{6})^2 = 6$ है।

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रेखा $\vec{r} = (\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}) + \lambda(\hat{i} + \hat{j} - \hat{k})$ और समतल $\vec{r} \cdot (-2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) = 0$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

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