ધારો કે પરવલય y^2 = 12x ની 3sqrt{13} લંબાઈની | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે, $4a = 12$, તેથી $a = 3$. ધારો કે $P$ અને $Q$ ના યામ $(at_1^2, 2at_1)$ અને $(at_2^2, 2at_2)$ છે.યામોનો ગુણોત્તર $2at_1 : 2a

Vedclass · Accepted Answer

$3$/$5$

Vedclass · Answer

(A) પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે, $4a = 12$, તેથી $a = 3$. ધારો કે $P$ અને $Q$ ના યામ $(at_1^2, 2at_1)$ અને $(at_2^2, 2at_2)$ છે.યામોનો ગુણોત્તર $2at_1 : 2at_2 = 1 : 2$ છે, જેનો અર્થ છે કે $t_2 = 2t_1$.જીવા $PQ$ ની લંબાઈ $a(t_2 - t_1) \sqrt{(t_2 + t_1)^2 + 4}$ છે.$a = 3$ અને $t_2 = 2t_1$ મૂકતા, આપણને $3(t_1) \sqrt{(3t_1)^2 + 4} = 3\sqrt{13}$ મળે છે.તેથી, $t_1 \sqrt{9t_1^2 + 4} = \sqrt{13}$. બંને બાજુ વર્ગ કરતા, $t_1^2(9t_1^2 + 4) = 13$. ધારો કે $u = t_1^2$, તો $9u^2 + 4u - 13 = 0$.$u$ માટે ઉકેલતા, $(9u + 13)(u - 1) = 0$. $u > 0$ હોવાથી, $u = 1$, તેથી $t_1 = 1$ અને $t_2 = 2$.બિંદુઓ $P(3, 6)$ અને $Q(12, 12)$ છે. નાભિ $S$ એ $(a, 0) = (3, 0)$ છે.$SP$ નો ઢાળ $m_1 = (6 - 0) / (3 - 3) = \infty$ (શિરોલંબ રેખા $x = 3$).$SQ$ નો ઢાળ $m_2 = (12 - 0) / (12 - 3) = 12 / 9 = 4/3$.રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\alpha$ એ સદિશો $\vec{SP} = (0, 6)$ અને $\vec{SQ} = (9, 12)$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.$\cos \alpha = (\vec{SP} \cdot \vec{SQ}) / (|SP| |SQ|) = (0 \cdot 9 + 6 \cdot 12) / (6 \cdot \sqrt{9^2 + 12^2}) = 72 / (6 \cdot 15) = 72 / 90 = 4/5$.$\cos \alpha = 4/5$ હોવાથી, $\sin \alpha = 3/5$ થાય.

Similar Questions

પરવલય $y^2 = 4ax$ ની નાભિ જીવાની શિરોબિંદુથી અંતર $p$ હોય,તો તેની લંબાઈ કેટલી થાય?

કોઈ પરવલય માટે નાભિ $(2, 1)$ અને નિયામિકા $2x - 3y + 1 = 0$ હોય,તો નાભિલંબનું સમીકરણ શું થાય?

ધારો કે $P(\alpha, \beta)$ એ પરવલય $y^2 = 4x$ પરનું એક બિંદુ છે જે વર્તુળ $x^2 + y^2 - 4x - 20y + 103 = 0$ થી ન્યૂનતમ અંતરે છે,તો $\alpha \beta$ ની કિંમત શોધો.

એવા પરવલયનું સમીકરણ શોધો જેની અક્ષ $y$-અક્ષને સમાંતર હોય અને જે $(0,4), (1,9)$ અને $(4,5)$ બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module