ધારો કે n અને k એવા ધન પૂર્ણાંકો છે કે જેથી n | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) $x_1 + x_2 + ... + x_k = n$ માટે ઉકેલોની સંખ્યા,જ્યાં $x_i \ge i$ હોય,તે $(t^1 + t^2 + ...) (t^2 + t^3 + ...) ... (t^k + t^{k+1} + ...)$ ના ગુણાકા

Vedclass · Accepted Answer

$^mC_{k-1}$

Vedclass · Answer

(A) $x_1 + x_2 + ... + x_k = n$ માટે ઉકેલોની સંખ્યા,જ્યાં $x_i \ge i$ હોય,તે $(t^1 + t^2 + ...) (t^2 + t^3 + ...) ... (t^k + t^{k+1} + ...)$ ના ગુણાકારમાં $t^n$ નો સહગુણક છે.આ $t^{1+2+...+k} (1 + t + t^2 + ...)^k$ માં $t^n$ નો સહગુણક છે.ધારો કે $r = 1 + 2 + ... + k = \frac{k(k+1)}{2}$.આ અભિવ્યક્તિ $(1-t)^{-k}$ માં $t^{n-r}$ નો સહગુણક બને છે.દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1-t)^{-k} = \sum_{j=0}^{\infty} \binom{k+j-1}{k-1} t^j$ નો ઉપયોગ કરતા,$t^{n-r}$ નો સહગુણક $\binom{k+(n-r)-1}{k-1}$ છે.ધારો કે $m = k + n - r - 1 = k + n - \frac{k(k+1)}{2} - 1 = \frac{2n - k^2 + k - 2}{2}$.આમ,ઉકેલોની સંખ્યા $\binom{m}{k-1}$ છે.

Similar Questions

એક ચૂંટણીમાં $5$ ઉમેદવારો અને $3$ ખાલી જગ્યાઓ છે. એક મતદાર મહત્તમ $3$ ઉમેદવારોને મત આપી શકે છે,તો તે કેટલી રીતે મત આપી શકે?

જો $f(x) = ^{9-x}C_{x-1}$ ના પ્રદેશ અને વિસ્તારમાં અનુક્રમે $m$ અને $n$ ઘટકો હોય,તો:

મ્યુનિસિપલ કોર્પોરેશનના $12$ સભ્યોમાંથી એક કે તેથી વધુ સભ્યોની સમિતિ કેટલી રીતે બનાવી શકાય?

$4$ ભિન્ન કાળા રંગના અને $3$ ભિન્ન સફેદ રંગના દડા પૈકી બે સમાન રંગના દડા કેટલી રીતે પસંદ કરી શકાય?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module