मान लीजिए $PQR$ एक त्रिभुज है। बिंदु $A, B$ और $C$ क्रमशः भुजाओं $QR, RP$ और $PQ$ पर इस प्रकार स्थित हैं कि $\frac{QA}{AR} = \frac{RB}{BP} = \frac{PC}{CQ} = \frac{1}{2}$ है। तब $\frac{\operatorname{Area}(\triangle PQR)}{\operatorname{Area}(\triangle ABC)}$ का मान $........$ है।

यदि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ दो ऐसे सदिश हैं कि $|\vec{a}|=|\vec{b}|=\sqrt{2}$ और $\vec{a} \cdot \vec{b}=-1$ है,तो $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

माना कि एक चतुष्फलक $ABCD$ के शीर्षों $A, B$ और $C$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}$,$\hat{i}+3\hat{j}-2\hat{k}$ और $2\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ हैं। शीर्ष $D$ से सम्मुख फलक $ABC$ पर डाला गया लंब,त्रिभुज $ABC$ की $A$ से गुजरने वाली माध्यिका को बिंदु $E$ पर मिलता है। यदि $AD$ की लंबाई $\frac{\sqrt{110}}{3}$ है और चतुष्फलक का आयतन $\frac{\sqrt{805}}{6\sqrt{2}}$ है,तो $E$ का स्थिति सदिश ज्ञात कीजिए।

यदि $A, B, C$ और $D$ ऐसे बिंदु हैं जिनके स्थिति सदिश क्रमशः $\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}, 4 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}, 5 \hat{i}+\hat{j}$ और $7 \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$ हैं,तो $\vec{AB}$ का $\vec{CD}$ पर प्रक्षेप ज्ञात कीजिए।

यदि बिंदु $P$ और $Q$ क्रमशः एक $\triangle ABC$ के परिकेंद्र और लंबकेंद्र हैं,तो $\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}$ किसके बराबर है?

मान लीजिए $\bar{a} = \bar{i} + 2\bar{j} + 3\bar{k}$, $\bar{b} = 2\bar{i} - 3\bar{j} + \bar{k}$, और $\bar{c} = 3\bar{i} + \bar{j} - 2\bar{k}$ तीन सदिश हैं। यदि $\bar{r}$ एक ऐसा सदिश है कि $\bar{r} \cdot \bar{a} = 0$, $\bar{r} \cdot \bar{b} = -2$, और $\bar{r} \cdot \bar{c} = 6$ है, तो $\bar{r} \cdot (3\bar{i} + \bar{j} + \bar{k})$ का मान ज्ञात कीजिए।