मान लीजिए कि (a+b)^{12} के द्विपद विस्तार में | vedclass

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Question

(A) $(a+b)^{12}$ में $T_r, T_{r+1}, T_{r+2}$ के गुणांक $^{12}C_{r-1}, ^{12}C_r, ^{12}C_{r+1}$ हैं।चूंकि वे $G.P.$ में हैं,इसलिए $(^{12}C_r)^2 = (^{12}

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$283$

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(A) $(a+b)^{12}$ में $T_r, T_{r+1}, T_{r+2}$ के गुणांक $^{12}C_{r-1}, ^{12}C_r, ^{12}C_{r+1}$ हैं।चूंकि वे $G.P.$ में हैं,इसलिए $(^{12}C_r)^2 = (^{12}C_{r-1}) 	imes (^{12}C_{r+1})$ होगा।गुणधर्म $\frac{^{n}C_k}{^{n}C_{k-1}} = \frac{n-k+1}{k}$ का उपयोग करने पर,$\frac{^{12}C_r}{^{12}C_{r-1}} = \frac{13-r}{r}$ और $\frac{^{12}C_{r+1}}{^{12}C_r} = \frac{12-r}{r+1}$ प्राप्त होता है।अनुपातों की तुलना करने पर: $\frac{13-r}{r} = \frac{12-r}{r+1} \implies (13-r)(r+1) = r(12-r)$.$12r + 13 = 12r \implies 13 = 0$,जो असंभव है।अतः,$r$ का कोई मान संभव नहीं है,इसलिए $p = 0$ है।$(3^{1/4} + 4^{1/3})^{12}$ के लिए,सामान्य पद $T_{k+1} = ^{12}C_k (3^{1/4})^{12-k} (4^{1/3})^k$ है।पद के परिमेय होने के लिए,$(12-k)$ को $4$ से और $k$ को $3$ से विभाज्य होना चाहिए।$k$ के संभावित मान $k=0$ और $k=12$ हैं।$k=0$ के लिए: $T_1 = 27$.$k=12$ के लिए: $T_{13} = 256$.योग $q = 27 + 256 = 283$ है।इसलिए,$p+q = 0 + 283 = 283$।

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