मान लीजिए कि वक्रों 4(x^{2}+y^{2}) = 9 और y^{ | vedclass

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Question

(B) वृत्त $x^{2} + y^{2} = \frac{9}{4}$ है और परवलय $y^{2} = 4x$ है।परवलय $y^{2} = 4x$ की स्पर्श रेखा $y = mx + \frac{1}{m}$ है।मूल बिंदु $(0,0)$ से इ

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$4$

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(B) वृत्त $x^{2} + y^{2} = \frac{9}{4}$ है और परवलय $y^{2} = 4x$ है।परवलय $y^{2} = 4x$ की स्पर्श रेखा $y = mx + \frac{1}{m}$ है।मूल बिंदु $(0,0)$ से इस स्पर्श रेखा की दूरी वृत्त की त्रिज्या $\frac{3}{2}$ के बराबर होनी चाहिए।$\frac{|m(0) - 0 + 1/m|}{\sqrt{m^{2} + 1}} = \frac{3}{2} \Rightarrow \frac{1}{|m|\sqrt{m^{2} + 1}} = \frac{3}{2}$.दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{1}{m^{2}(m^{2} + 1)} = \frac{9}{4} \Rightarrow 9m^{4} + 9m^{2} - 4 = 0$.$m^{2}$ के लिए हल करने पर: $(3m^{2} - 1)(3m^{2} + 4) = 0$. चूँकि $m^{2} > 0$,इसलिए $m^{2} = \frac{1}{3}$,अतः $m = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x + \sqrt{3}$ और $y = -\frac{1}{\sqrt{3}}x - \sqrt{3}$ हैं।ये स्पर्श रेखाएँ $x$-अक्ष पर बिंदु $Q$ पर प्रतिच्छेद करती हैं जहाँ $y=0$ है। $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x + \sqrt{3}$ में $y=0$ रखने पर $x = -3$ प्राप्त होता है। अतः,$Q = (-3, 0)$.लंबाई $OQ = |-3| = 3$. दीर्घवृत्त के लिए अर्ध-लघु अक्ष $b = 3$ और अर्ध-दीर्घ अक्ष $a = 6$ है।उत्केंद्रता $e$ के लिए $b^{2} = a^{2}(1 - e^{2})$ $\Rightarrow 9 = 36(1 - e^{2})$ $\Rightarrow 1 - e^{2} = \frac{1}{4}$ $\Rightarrow e^{2} = \frac{3}{4}$.नाभिलंब की लंबाई $l = \frac{2b^{2}}{a} = \frac{2 	imes 9}{6} = 3$.अतः,$\frac{l}{e^{2}} = \frac{3}{3/4} = 4$.

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