मान लीजिए कि सम्मिश्र संख्याएँ alpha और frac{ | vedclass

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Question

(B) दिया गया है कि $|z-z_0|^2=4$ और $\alpha$ इस पर स्थित है,इसलिए $|\alpha-z_0|^2=4$.$(\alpha-z_0)(\bar{\alpha}-\bar{z}_0)=4 \Rightarrow |\alpha|^2 -

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$20$

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(B) दिया गया है कि $|z-z_0|^2=4$ और $\alpha$ इस पर स्थित है,इसलिए $|\alpha-z_0|^2=4$.$(\alpha-z_0)(\bar{\alpha}-\bar{z}_0)=4 \Rightarrow |\alpha|^2 - \alpha\bar{z}_0 - \bar{\alpha}z_0 + |z_0|^2 = 4$.चूँकि $z_0 = 1+i$,$|z_0|^2 = 1^2+1^2 = 2$.अतः,$|\alpha|^2 - (\alpha\bar{z}_0 + \bar{\alpha}z_0) = 4 - 2 = 2$ ... $(i)$.दिया गया है कि $\frac{1}{\bar{\alpha}}$ वृत्त $|z-z_0|^2=16$ पर स्थित है,इसलिए $|\frac{1}{\bar{\alpha}}-z_0|^2=16$.$|\frac{1-\bar{\alpha}z_0}{\bar{\alpha}}|^2 = 16 \Rightarrow \frac{|1-\bar{\alpha}z_0|^2}{|\alpha|^2} = 16$.$|1-\bar{\alpha}z_0|^2 = 16|\alpha|^2 \Rightarrow (1-\bar{\alpha}z_0)(1-\alpha\bar{z}_0) = 16|\alpha|^2$.$1 - (\alpha\bar{z}_0 + \bar{\alpha}z_0) + |\alpha|^2|z_0|^2 = 16|\alpha|^2$.$1 - (\alpha\bar{z}_0 + \bar{\alpha}z_0) + 2|\alpha|^2 = 16|\alpha|^2$.$1 - (\alpha\bar{z}_0 + \bar{\alpha}z_0) = 14|\alpha|^2$ ... $(ii)$.$(i)$ में से $(ii)$ को घटाने पर:$(|\alpha|^2 - (\alpha\bar{z}_0 + \bar{\alpha}z_0)) - (1 - (\alpha\bar{z}_0 + \bar{\alpha}z_0)) = 2 - 14|\alpha|^2$.$|\alpha|^2 - 1 = 2 - 14|\alpha|^2$.$15|\alpha|^2 = 3 \Rightarrow |\alpha|^2 = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}$.अतः,$100|\alpha|^2 = 100 	imes \frac{1}{5} = 20$.

List-$I$	List-$II$
$(i)$ $a \bar{a}$	$(A)$ $-\frac{\pi}{3}$
$(ii)$ $\arg \left(\frac{1}{\bar{a}}\right)$	$(B)$ $-i \sqrt{3}$
$(iii)$ $a - \bar{a}$	$(C)$ $2i / \sqrt{3}$
$(iv)$ $\operatorname{Im}\left(\frac{4}{3a}\right)$	$(D)$ $1$
	$(E)$ $\pi / 3$
	$(F)$ $\frac{2}{\sqrt{3}}$

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