मान लीजिए कि दीर्घवृत्त $3x^2 + py^2 = 4$,वृत्त $x^2 + y^2 - 2x - 4y - 11 = 0$ के केंद्र $C$ से होकर गुजरता है,जिसकी त्रिज्या $r$ है। मान लीजिए $f_1, f_2$ दीर्घवृत्त पर स्थित बिंदु $C$ की नाभीय दूरियाँ हैं। तो $6f_1f_2 - r$ का मान ज्ञात कीजिए।

कथन $(A)$: यदि दीर्घवृत्त $9x^2 + 16y^2 = 144$ के बिंदु $P(\frac{\pi}{3})$ पर स्पर्श रेखा और अभिलंब मुख्य अक्ष को क्रमशः $Q$ और $R$ पर मिलते हैं,तो $QR = \frac{57}{8}$ है।
कारण $(R)$: यदि दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के बिंदु $P(\theta)$ पर स्पर्श रेखा और अभिलंब मुख्य अक्ष को क्रमशः $Q$ और $R$ पर मिलते हैं,तो $QR = \left| \frac{a^2 \sin^2 \theta + b^2 \cos^2 \theta}{a \cos \theta} \right|$ है।

यदि दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ की जीवा का मध्यबिंदु $(\sqrt{2}, 4/3)$ है,और जीवा की लंबाई $\frac{2 \sqrt{\alpha}}{3}$ है,तो $\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए :

यदि $P$ दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ पर कोई बिंदु है और $S, S^{\prime}$ इसकी नाभियाँ हैं,तो $\Delta SPS^{\prime}$ का अधिकतम क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) =

यदि $\alpha, \beta$ इकाई के $4^{th}$ मूलों के दो वास्तविक मूल हैं और $\gamma, \delta$ अन्य दो मूल हैं,तो शांकव $|z-\alpha|+|z-\beta|=4$ और $|z-\gamma|+|z-\delta|=6$ की उत्केंद्रताओं का योग क्या है?

यदि $\theta$ और $\phi$ दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के संयुग्मी व्यासों के सिरों के उत्केंद्र कोण (eccentric angles) हैं,तो $\theta - \phi$ का मान क्या होगा?