मान लीजिए कि समतलों x+2y+az=2 और x-y+z=3 के प | vedclass

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Question

(C) समतलों $x+2y+az-2=0$ और $x-y+z-3=0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले समतल का समीकरण $(x+2y+az-2) + \lambda(x-y+z-3) = 0$ है।इसे सरल करने पर $(1+\lamb

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$-4$

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(C) समतलों $x+2y+az-2=0$ और $x-y+z-3=0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले समतल का समीकरण $(x+2y+az-2) + \lambda(x-y+z-3) = 0$ है।इसे सरल करने पर $(1+\lambda)x + (2-\lambda)y + (a+\lambda)z - (2+3\lambda) = 0$ प्राप्त होता है।दिए गए समतल $5x-11y+bz = 6a-1$ के साथ तुलना करने पर:$\frac{1+\lambda}{5} = \frac{2-\lambda}{-11} = \frac{a+\lambda}{b} = \frac{2+3\lambda}{6a-1}$.$\frac{1+\lambda}{5} = \frac{2-\lambda}{-11}$ से,$-11-11\lambda = 10-5\lambda$,अतः $-6\lambda = 21$,जिससे $\lambda = -\frac{7}{2}$ प्राप्त होता है।$\lambda = -\frac{7}{2}$ रखने पर:$\frac{1-3.5}{5} = -0.5$,अतः $\frac{2+3(-3.5)}{6a-1} = -0.5 \implies \frac{2-10.5}{6a-1} = -0.5 \implies \frac{-8.5}{6a-1} = -0.5 \implies 6a-1 = 17 \implies 6a = 18 \implies a = 3$.अब,$\frac{a+\lambda}{b} = -0.5 \implies \frac{3-3.5}{b} = -0.5 \implies \frac{-0.5}{b} = -0.5 \implies b = 1$.समतल $5x-11y+z = 17$ है।बिंदु $(a, -c, c) = (3, -c, c)$ से $5x-11y+z-17=0$ की दूरी $\frac{|5(3)-11(-c)+c-17|}{\sqrt{5^2+(-11)^2+1^2}} = \frac{|12c-2|}{\sqrt{147}}$ है।दी गई दूरी $\frac{2}{\sqrt{a}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{14}{\sqrt{147}}$ है।अतः,$|12c-2| = 14$. इससे $12c-2 = -14 \implies 12c = -12 \implies c = -1$.इस प्रकार,$\frac{a+b}{c} = \frac{3+1}{-1} = -4$.

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रेखा $r = 2\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k} + \lambda(\hat{i} - \hat{j} + 4\hat{k})$ और समतल $r \cdot (\hat{i} + 5\hat{j} + \hat{k}) = 5$ के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।

रेखा $\frac{x-1}{2}=\frac{y+3}{1}=\frac{z+7}{2}$ और समतल $\bar{r} \cdot(6 \hat{\imath}-2 \hat{\jmath}-3 \hat{k})=5$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

$m$ का मान ज्ञात कीजिए,ताकि रेखा $\frac{x-4}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{2z-m}{3}$,समतल $2x-5y+2z=7$ में स्थित हो।

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