मान लीजिए कि फलन $f: R \rightarrow R$ को $f(x) = \frac{\sin x}{e^{\pi x}} \frac{(x^{2023} + 2024x + 2025)}{(x^2 - x + 3)} + \frac{2}{e^{\pi x}} \frac{(x^{2023} + 2024x + 2025)}{(x^2 - x + 3)}$ द्वारा परिभाषित किया गया है। तो $R$ में $f(x) = 0$ के हलों की संख्या क्या है?

नीचे दिए गए चार कथनों में से कौन सा कथन दूसरों से भिन्न है?

मान लीजिए $R$ सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है और $R^{+}$ सभी धनात्मक वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है। $R$ के उपसमुच्चयों $A$ और $B$ के लिए, $f: A \rightarrow B$ को $f(x) = x^2$ द्वारा परिभाषित करें, जहाँ $x \in A$ है। नीचे दी गई सूचियों का मिलान करें:
| स्तंभ $I$ | स्तंभ $II$ |
| :--- | :--- |
| $A$. $f$ एकैकी और आच्छादक है, यदि | $1$. $A = R^{+}, B = R$ |
| $B$. $f$ एकैकी है लेकिन आच्छादक नहीं है, यदि | $2$. $A = B = R$ |
| $C$. $f$ आच्छादक है लेकिन एकैकी नहीं है, यदि | $3$. $A = R, B = R^{+}$ |
| $D$. $f$ न तो एकैकी है और न ही आच्छादक है, यदि | $4$. $A = B = R^{+}$ |

यदि $f(x) = \cos (\log x)$ है,तो $f(x)f(4) - \frac{1}{2}\left[ f\left( \frac{x}{4} \right) + f(4x) \right]$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f: R \rightarrow (0,1)$ एक सतत फलन है। तो,निम्नलिखित में से किस फलन का मान अंतराल $(0,1)$ में किसी बिंदु पर शून्य है?

निम्नलिखित का मिलान करें:

List-$I$	List-$II$
$A$. $\frac{x}{e^x-1} + \frac{x}{2} + 4; x \neq 0$	$I$. न तो विषम और न ही सम फलन है
$B$. $\tan^{-1}(\log|x+\sqrt{x^2+1}|), x > 0$	$II$. सम फलन है
$C$. $3 < x < 5$ के लिए,$|x-2|+|x-3|+|x-5|$	$III$. विषम फलन है
$D$. $\sin 2x + \sin^2 x + \cos 3x, \forall x \in \mathbb{R}$	$IV$. तत्समक फलन है
	$V$. अचर फलन है