मान लीजिए कि अतिपरवलय H : frac{x^{2}}{a^{2}}- | vedclass

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Question

(B) अतिपरवलय $H: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ है। नाभियाँ $S(ae, 0)$ और $S'(-ae, 0)$ हैं।परवलय के लिए,नाभि $(ae, 0)$ है और नियता $x = -a

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$(3\sqrt{3}, -6\sqrt{2})$

Vedclass · Answer

(B) अतिपरवलय $H: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ है। नाभियाँ $S(ae, 0)$ और $S'(-ae, 0)$ हैं।परवलय के लिए,नाभि $(ae, 0)$ है और नियता $x = -ae$ है।नाभि और नियता के बीच की दूरी $2ae$ है। परवलय के लिए यह दूरी $2p$ है,इसलिए $p = ae$ है।परवलय के नाभिलंब की लंबाई $4p = 4ae$ है।$H$ के नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^{2}}{a}$ है।दिया गया है $4ae = e 	imes \frac{2b^{2}}{a}$,जिससे $b^{2} = 2a^{2}$ प्राप्त होता है।चूँकि $(2\sqrt{2}, -2\sqrt{2})$ $H$ पर स्थित है,$\frac{8}{a^{2}} - \frac{8}{b^{2}} = 1$ है। $b^{2} = 2a^{2}$ रखने पर,$a^{2} = 4$ और $b^{2} = 8$ प्राप्त होता है।अतः $e = \sqrt{3}$ है।परवलय का समीकरण $y^{2} = 4(ae)x = 8\sqrt{3}x$ है।बिंदु $(3\sqrt{3}, -6\sqrt{2})$ की जाँच करने पर,$y^{2} = 72$ और $8\sqrt{3}x = 72$ प्राप्त होता है। अतः यह बिंदु परवलय पर स्थित है।

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वक्रों $y^{2}=4ax$ और $x^{2}=4by$ के प्रतिच्छेदन का कोण ज्ञात कीजिए।

यदि दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ और अतिपरवलय $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{b^2}=1$ की नाभियाँ संपाती हैं,तो $b^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

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